Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Аф = 2 I ф (г0) — фоо I — я. (8.5.5)
Когда эта величина положительна, угол ф изменяется более чем на 180°, т. е. траектория загибается к Солнцу; когда Аф отрицательно, траектория изгибается в обратную сторону. Для фотона V2 = 1, и (8.5.4) принимает вид
(8.5.6)
г
Если бы мы воспользовались точными значениями А (г) и В (г) из решений Шварцшильда (8.2.10) и (8.2.11), мы получили бы ф (г) и Дф в виде эллиптических интегралов обычного типа, которые могут быть вычислены лишь численно с помощью разложения по малым параметрам MGIr0 и MGIr. Однако и легче и поучительней провести разложения до интегрирования, находя А (г) и В (г) из разложений Робертсона (8.3.8) и (8.3.9):
4 (г) = 1 + 2у В (г) = 1-2
MG г
MG 206 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
Аргумент второго квадратного корня в выражении (8.5.6) тогда равен
-(-Ш'+^Ч)+-]-1-
-ГШ-'Н'-от+"].
так что (8.5.6) принимает вид
/ \ F dr Yai Img і MGr , 7
ф(г)~фоо=Ь[(^)2-і]1/2
Этот интеграл легко берется. В результате получаем ф (г) — Фоо = arcsin +
Следовательно, в первом порядке по MGIr0 отклонение (8.5.5) определяется формулой
. 4MG г 1 + v \ /о с оч
В этом порядке мы могли бы сразу заменить здесь г0 прицельным параметром Ь.)
Если лучи света отклоняются Солнцем, мы должны подставить в полученную формулу M = Mq = 1,97-103?, следовательно, MG = MqG = 1,475 км, а вместо минимального значения г0 — радиус Солнца Rq = 6,95-IO5 км. Тогда (8.5.8) принимает вид
АФ =(^)O01 (8.5.9)
где
Oa-jT №Р.Ы0»
Далее общая теория относительности дает у = 1, а потому она предсказывает отклонение к Солнцу на угол 0q = 1,75". (Юпитер отклоняет луч света только на 0,02", так что надежд наблюдать отклонение света каким-либо другим телом, кроме Солнца, мало.) В теории Бранса и Дикке выражения (8.5.10) и (8.3.3) приводят к следующему углу отклонения:
4MqG І 2ю4-3 \ .я , ,, § З. Неограниченные орбиты: отклонение света Солнцем 207
Всякий раз, когда мы получаем предсказания на основе общей теории относительности, возникает (или должен возникать) вопрос: действительно ли полученный результат относится к реальному физическому измерению или в него привнесены произвольные субъективные элементы, зависящие от нашего выбора системы координат? В рассмотренном выше случае нам следует выяснить, каким должно быть предсказываемое изменение ф, т. е. действительное смещение изображений звезд на фотопластинках. К счастью, ответить на этот вопрос достаточно просто, так как мы имеем здесь дело с экспериментом по рассеянию. Лучи света приходят из очень отдаленных областей, отклоняются, когда приближаются к Солнцу, и затем детектируются на Земле, пройдя путь более чем в 200 радиусов Солнца. В точках испускания и наблюдения метрику можно считать метрикой Минковского, и в этих областях не возникает никаких вопросов о смысле ф; это азимутальный угол в системе координат, в которой световые лучи движутся в основном по прямым. Поэтому мы можем связать Лф со сдвигом изображений звезд на фотопластинках с помощью обычных законов геометрической оптики. (Мы пренебрегаем здесь эффектами гравитационного поля самой Земли, поскольку это поле у ее поверхности более чем в IO3 раз слабее, чем поле Солнца у его поверхности.) Однако нам следует быть намного осторожнее в отношении смысла нашего ф, если предсказывать отклонение света Солнцем, проводя наблюдения, например, на спутнике, движущемся вокруг Солнца по орбите, удаленной от него всего на несколько солнечных радиусов.
Другая трудность, которая возникает здесь, связана с рассмотрением фотона как кванта света, движущегося подобно любой другой частице, имеющей скорость, близкую к единице, т. е. к с. Действительно, квантовой механике не уделено никакого внимания. Длина волны света настолько мала по сравнению с масштабом гравитационного поля Солнца (примерно IO-5 см по сравнению с IO10 см), что в любой точке этого поля можно построить локально-инерциальную систему координат, которая охватывает огромное число длин волн, скажем IO15. Принцип эквивалентности утверждает, что в такой системе координат свет ведет себя, как в свободном от гравитации пустом пространстве, а так как длина волны света очень мала, то это означает, что можно пренебречь дифракцией и каждый элемент фронта волны движется по прямой линии с единичной скоростью. Это утверждение, записанное в неинерциальной астрономической системе координат, есть не что иное, как наше уравнение движения (8.4.2). (Этот аргумент, кстати, поясняет, почему отклонение света не может зависеть от поляризации.) 208 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
Теперь посмотрим, как сравнивать эйнштейновское предсказание (8.5.9) с результатами наблюдений. Угол отклонения Дф измеряется классическим способом: сопоставлением видимых положений звезд вблизи солнечного диска во время затмения, когда их свет проходит у края Солнца, с их положениями ночью за шесть месяцев до момента затмения, когда эти звезды видимы на небе с Земли на противоположной стороне от Солнца, так что их свет не проходит около Солнца на пути к нам. Вычитая ф, соответствующее ночным наблюдениям, из ф, измеренного во время затмения, мы в принципе могли бы получить Дф. Однако имеются неизбежные изменения в масштабах фотоснимков за шестимесячный срок отчасти из-за малых колебаний температур, отчасти из-за механических изменений геометрии системы телескоп — камера за столь продолжительный срок. Изменение масштаба фотоснимка приводило бы к мнимому отклонению положения звезды к Солнцу или от него на угол, пропорциональный расстоянию г0, на котором ее свет проходит около Солнца. Поэтому на практике, наблюдения надо сравнивать с теоретической кривой
