Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 71

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 254 >> Следующая


Так как величина В (г) близка к единице, то параметр р почти равен координатному времени t. Другой интеграл движения получается с помощью (8.4.8) и играет роль углового момента для единицы массы:

Г2-^ = /(const). (8.4.11)

Подставляя (8.4.7), (8.4.10) и (8.4.11) в (8.4.3), переписываем это последнее оставшееся уравнение движения в виде

n_ d*r А'(г) ( dr \2 J* Б'(г) тА19\

dp2 2А (г) \ dp ) г3 А (г) Ч" 2А (г) B2 (г) ' ^ >

Умножая это уравнение на 2А (г) dr/dp, можно переписать его так:

a ( , , \ f dr , J2 1 і „

Тогда последний неизвестный интеграл движения оказывается равным

Л W (-If)2 + ^- ?k= -?(const). (8.4.13)

Собственное время т можно теперь найти с помощью (8.4.1), (8.4.7), (8.4.10), (8.4.11) и (8.4.13); полученный результат

dx2 = Edp2 (8.4.14)

находится в соответствии с ранее сделанным замечанием о том, что (8.4.2) требует, чтобы производная dxldp была постоянной. Мы видим, что

E > 0 для материальных частиц, (8.4.15)

E = 0 для фотонов. (8.4.16)

Заметим также, что А (г) на практике всегда положительно, а потому (8.4.13) говорит о том, что рассматриваемая частица может достигать радиуса г только в том случае, если выполняется условие

г 2

Параметр р можно везде исключить подстановкой (8.4.10) в (8.4.11), (8.4.13) и (8.4.14). В результате получаем

г

2

dt

.JB (г), (8.4.18)

+ (8.4.19)

і (г) \ dt } т г2 В (г) ' v '

dx2 = EB2 (г) dt2. (8.4.20) § 4. Общий вид уравнений движения

203

Для медленно движущейся частицы в слабом поле величины J2Ir2, (dr/dt)2, А — 1 и 5 — 1 л? 2ф будут все малы, и в первом порядке по этим величинам вышеприведенные уравнения движения записываются следующим образом:

2 d(p т 1 / Ar \2 , /2 Ij_E



2 \ dt I '2г* 1 г 2

Это те же самые уравнения, которые получались бы в теории Ньютона с учетом того, что величина (1 — Е)/2 выполняет роль энергии, приходящейся на единицу массы.

Для наглядности рассмотрим точные уравнения движения для простого случая частицы, движущейся по круговой орбите радиусом R. Так как drldt равно нулю, уравнение (8.4.19) имеет вид

(8-4-21)

Далее, чтобы на этом радиусе частица находилась в состоянии равновесия, производная по R от левой части должна равняться нулю:

-^+Wf=*- (8-4-22)

[Если мы будем рассматривать окружность как предельный случай эллипса с перигелием R — би афелием R + б, тогда (8.4.19) показывает, что величина J2Ir2 — HB (г) + E должна равняться нулю при г = R + 8, а это дает соотношения (8.4.21) и (8.4.22)

в пределе б —>- 0.] Из (8.4.21) и (8.4.22) находим

^ = ^)(1-?^)' <8-4-23>

/2 = -??!. (8.4.24)

Подставляя (8.4.24) в (8.4.18), находим, что скорость вращения равняется

( В'{Щ Vh (R 4

-M= [—2TT] > (8А25>

в то время как (8.4.23) и (8.4.20) приводят к следующей формуле для собственного времени:

-?- = }/rB(R)-^rRB1(R). (8.4.26)

Используя разложение Робертсона (8.3.8), находим 204 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна

В большинстве приложений общей теории относительности наибольший интерес представляет для нас форма орбит, т. е. зависимость г от ф, а не их эволюция во времени. Форму орбит можно получить непосредственно, исключая dp из (8.4.И) и (8.4.13); это приводит к уравнению

___± (8 4 291

г* \Лр j + г* J2B (г) J2' io.ft.z»)

Решение может быть найдено в квадратурах: 44

'-=fcL/ . ^slTVJT- (8-4-30>

Г \ J2B (г) J2 г2 )

§ 5. Неограниченные орбиты: отклонение света Солнцем

Рассмотрим частицу или фотон, прилетающий к Солнцу из очень удаленных областей (фиг. 8.1). На бесконечности метрика является метрикой Минковского, т. е. А (оо) = В (оо) = 1, и частица должна двигаться с постоянной скоростью V, причем

Ъ » г sin (ф — фоо) « г (ф —- фоо),

-V^lf(rcos (Ф-Ф»))«"^»

где Ъ — «прицельный параметр», а фоо — начальное направление. Подставляя эти выражения в (8.4.18) и (8.4.19), видим, что они действительно удовлетворяют уравнениям движения на бесконечности, где A =B = 1, а константы движения равны

/ = bV\ (8.5.1)

E = I-F2. (8.5.2)

(Фотон, конечно, имеет F = I, и, как мы уже видели, отсюда следует, что E = 0.) Часто бывает более удобным выразить J через расстояние г0 между Солнцем и ближайшей к нему точкой траектории, а не через прицельный параметр Ъ. Для значения г = г0 величина dr/diр исчезает, так что (8.4.29) и (8.5.2) дают

J=r°(-Bh)~x+V2)1/2- ^

Тогда формула (8.4.30) описывает орбиту следующим образом:

5 /^li /г\ dr

, 1 г 1-TT—1-T^i-TTvT'

(8.5.4) § З. Неограниченные орбиты: отклонение света Солнцем 205

Фиг. 8.1. Величины, употребляемые при вычислении отклонения света гравитационным полем Солнца. Величина отклонения сильно преувеличена.

Полное изменение ф, когда г убывает от бесконечности до его минимального значения г0, а затем опять уходит в бесконечность, как раз в два раза больше, чем изменение его в интервале от оо до г0, т. е. составляет 2 | ф (г0) — фоо|. Если бы траектория была прямой линией, изменение как раз равнялось бы л; следовательно, отклонение орбиты от прямой линии составляет
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed