Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
, , (. 0 MG , „„ Af2G2 . \ ,.2 dT2 = ^l —2а ——h 2? —^--b • • • ) dt2 —
— (1 + 2Т + . . .) (dp2 + p2dQ2 + P2sin26dtp2), (8.3.1)§ 3. Другие метрики
199
где а, ? и у — неизвестные безразмерные параметры. (Причина, по которой в разложении g00 удерживаются члены до порядка MiG2Ip2, а в gij — только до порядка MGIр, состоит в том, что в прило-•,кении к небесной механике пространственная часть метрики gtj всегда умножается на дополнительный коэффициент v2 MGIр.) Сравнивая (8.3.1) с изотропной формой (8.2.14) решения Шварц-шильда, видим, что уравнения поля Эййштейна приводят к равенствам
а = ? = у = 1. (8.3.2)
Напротив, теория Бранса и Дикке (§ 3 гл. 7) приводит к метрике (§ 9 гл. 9), которую можно выразить в форме (8.3.1), где
« = ? = l> V = Ss- (8-3'3)
причем (о здесь — неизвестный параметр этой теории. Для того чтобы решить, какие из полученных уравнений правильны — Эйнштейна, Бранса и Дикке или какие-нибудь еще, надо измерить а. ? и у. Вообще говоря, мы будем проводить вычисления с метрикой в ее стандартной форме, так что удобно преобразовать ее с помощью робертсоновского разложения (8.3.1) к этому виду, пользуясь определением
r-p(l + Tu?+...) (8.3.4)
или
/л MG , \ р=г . . . j .
Простое вычисление позволяет найти
-(l-f + . . . ) dr2 — г2dQ2 — г2sin20dcp2. (8.3.5)
Мы можем также построить гармонические координаты X, t, используя для X
X1 = i? sin Ocos ф, X2 = R sin 0 sin ф, X3 = R cos 0,
где R удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.1.15):
Решение его имеет вид
М1 + (К~2 l)MG+ ¦¦•)>¦> (8.3.6)200 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
и (8.1.16) приводит к следующей метрике (где R2 = X2): dx2 = [ 1 - 2а щ. + (ау - а2 + 2? + . . . ] dt2 -- [1 + MG + ...\MG1R+...] (X. Д)»а {8 3 7)
Сравнение (8.3.5) и (8.3.7) с соответствующими точными решениями (8.2.12) и (8.2.15) опять показывает, что теория Эйнштейна дает а = ? = 7 = 1.
Предсказание о том, что а = 1, сразу следует из эмпирического определения массы М. Заметим, что выражение (8.3.1) предсказывало бы для медленно движущейся частицы, далекой от начала координат, центростремительное ускорение, равное
_<,== _гг ^=-IilL- aMG
ё и 2 дг г2
(для MGIr <1 и V2 < 1),
в то время как массы Солнца и планет в действительности измеряются путем приравнивания g к MGIr2. Следовательно, мы должны ввести а в M или, другими словами, положить а = 1. Только в том случае, если бы оказалось возможным определить M с помощью некоторого независимого негравитационного измерения, имело бы смысл спрашивать, действительно ли а точно равно единице. При а = 1 метрические функции, задаваемые (8.3.5), таковы
В (г) = l-^+2(?-7)-^+..., (8.3.8)
А (г) = 1 + 2у^~+... . (8.3.9)
Как показано в гл. 3, при измерении гравитационного красного смещения определяется только член —2MGIr в В (г) и, следовательно, проверяется только принцип эквивалентности. Мы увидим что из других опытов по проверке общей теории относительности, перечисленных в начале этой главы, с помощью Б и Г можно обнаружить только, действительно ли у »1, в то время как с помощью В — с помощью наблюдения прецессии перигелия — проверяется соотношение 2у — ? a: 1. (С точностью до пренебрежения вращением Земли эксперимент Д также проверяет, равно ли у » 1.)
§ 4. Общий вид уравнений движения
Рассмотрим теперь двия?ение свободно падающей материальной частицы или фотона в статическом изотропном гравитационном поле. Сначала рассмотрим наиболее общий вид метрики, задан-§ 4. Общий вид уравнений движения
201
ный в стандартной форме (см. § 1 этой главы), т. е.
dx2 = В (г) dt2 — А (г) dr2 — r2d02 — г2 sin2 GdqA (8.4.1) Уравнения свободного падения имеют вид
db» , гц dxv _n
IFt1vxTT (8- -2)
где р — параметр, описывающий траекторию. Вообще, dx пропорционально dp, а потому для материальной частицы мы можем нормировать р так, чтобы сделать р = т. Однако для фотона константа пропорциональности dx/dp равна нулю, а так как мы хотим рассматривать фотоны наравне с массивными частицами, удобно сохранить свободу нормировать р независимо от нормировки т. Подставляя в (8.4.2) ненулевые компоненты аффинной связности, задаваемой (8.1.11), получаем:
d»r А' (г) ( dr \2 Г / dQ \2
п— °r А (r) (dr\ г [ \
<Zp2 + 24 (Г) \ dp ) А (г) \ dp )
sine / g' (г) / \2
-Іф-j +Щ I^rJ ' (8АЗ>
Л (г) , 2 dB dr
dp2 г dp dp
¦ sin 0 COS 0
(^)2. (8.4.4)
(Штрих означает d/dr.) Мы решим эти уравнения, отыскивая интегралы движения.
Так как поле изотропно, можно считать, что орбита рассматриваемой частицы расположена в экваториальной плоскости, т. е.
8 = -2-. (8.4.7)
Тогда (8.4.4) удовлетворяется тривиально, и мы можем забыть о 0 как о динамической переменной. Разделив затем уравнения (8.4.5) и (8.4.6) на dtp/dp и dt/dp соответственно, находим
iW^ + 1-2}=0- (^-8>
W {ln -^ + ln5I=0- (8-4-9)
Это приводит к двум интегралам движения. Один из них можно включить в определение р, поскольку р выбирается таким образом, чтобы решение (8.4.9) имело вид202 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна