Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 70

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 254 >> Следующая


, , (. 0 MG , „„ Af2G2 . \ ,.2 dT2 = ^l —2а ——h 2? —^--b • • • ) dt2 —

— (1 + 2Т + . . .) (dp2 + p2dQ2 + P2sin26dtp2), (8.3.1) § 3. Другие метрики

199

где а, ? и у — неизвестные безразмерные параметры. (Причина, по которой в разложении g00 удерживаются члены до порядка MiG2Ip2, а в gij — только до порядка MGIр, состоит в том, что в прило-•,кении к небесной механике пространственная часть метрики gtj всегда умножается на дополнительный коэффициент v2 MGIр.) Сравнивая (8.3.1) с изотропной формой (8.2.14) решения Шварц-шильда, видим, что уравнения поля Эййштейна приводят к равенствам

а = ? = у = 1. (8.3.2)

Напротив, теория Бранса и Дикке (§ 3 гл. 7) приводит к метрике (§ 9 гл. 9), которую можно выразить в форме (8.3.1), где

« = ? = l> V = Ss- (8-3'3)

причем (о здесь — неизвестный параметр этой теории. Для того чтобы решить, какие из полученных уравнений правильны — Эйнштейна, Бранса и Дикке или какие-нибудь еще, надо измерить а. ? и у. Вообще говоря, мы будем проводить вычисления с метрикой в ее стандартной форме, так что удобно преобразовать ее с помощью робертсоновского разложения (8.3.1) к этому виду, пользуясь определением

r-p(l + Tu?+...) (8.3.4)

или

/л MG , \ р=г . . . j .

Простое вычисление позволяет найти

-(l-f + . . . ) dr2 — г2dQ2 — г2sin20dcp2. (8.3.5)

Мы можем также построить гармонические координаты X, t, используя для X

X1 = i? sin Ocos ф, X2 = R sin 0 sin ф, X3 = R cos 0,

где R удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.1.15):

Решение его имеет вид

М1 + (К~2 l)MG+ ¦¦•)>¦> (8.3.6) 200 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна

и (8.1.16) приводит к следующей метрике (где R2 = X2): dx2 = [ 1 - 2а щ. + (ау - а2 + 2? + . . . ] dt2 -- [1 + MG + ...\MG1R+...] (X. Д)»а {8 3 7)

Сравнение (8.3.5) и (8.3.7) с соответствующими точными решениями (8.2.12) и (8.2.15) опять показывает, что теория Эйнштейна дает а = ? = 7 = 1.

Предсказание о том, что а = 1, сразу следует из эмпирического определения массы М. Заметим, что выражение (8.3.1) предсказывало бы для медленно движущейся частицы, далекой от начала координат, центростремительное ускорение, равное

_<,== _гг ^=-IilL- aMG

ё и 2 дг г2

(для MGIr <1 и V2 < 1),

в то время как массы Солнца и планет в действительности измеряются путем приравнивания g к MGIr2. Следовательно, мы должны ввести а в M или, другими словами, положить а = 1. Только в том случае, если бы оказалось возможным определить M с помощью некоторого независимого негравитационного измерения, имело бы смысл спрашивать, действительно ли а точно равно единице. При а = 1 метрические функции, задаваемые (8.3.5), таковы

В (г) = l-^+2(?-7)-^+..., (8.3.8)

А (г) = 1 + 2у^~+... . (8.3.9)

Как показано в гл. 3, при измерении гравитационного красного смещения определяется только член —2MGIr в В (г) и, следовательно, проверяется только принцип эквивалентности. Мы увидим что из других опытов по проверке общей теории относительности, перечисленных в начале этой главы, с помощью Б и Г можно обнаружить только, действительно ли у »1, в то время как с помощью В — с помощью наблюдения прецессии перигелия — проверяется соотношение 2у — ? a: 1. (С точностью до пренебрежения вращением Земли эксперимент Д также проверяет, равно ли у » 1.)

§ 4. Общий вид уравнений движения

Рассмотрим теперь двия?ение свободно падающей материальной частицы или фотона в статическом изотропном гравитационном поле. Сначала рассмотрим наиболее общий вид метрики, задан- § 4. Общий вид уравнений движения

201

ный в стандартной форме (см. § 1 этой главы), т. е.

dx2 = В (г) dt2 — А (г) dr2 — r2d02 — г2 sin2 GdqA (8.4.1) Уравнения свободного падения имеют вид

db» , гц dxv _n

IFt1vxTT (8- -2)

где р — параметр, описывающий траекторию. Вообще, dx пропорционально dp, а потому для материальной частицы мы можем нормировать р так, чтобы сделать р = т. Однако для фотона константа пропорциональности dx/dp равна нулю, а так как мы хотим рассматривать фотоны наравне с массивными частицами, удобно сохранить свободу нормировать р независимо от нормировки т. Подставляя в (8.4.2) ненулевые компоненты аффинной связности, задаваемой (8.1.11), получаем:

d»r А' (г) ( dr \2 Г / dQ \2

п— °r А (r) (dr\ г [ \

<Zp2 + 24 (Г) \ dp ) А (г) \ dp )

sine / g' (г) / \2

-Іф-j +Щ I^rJ ' (8АЗ>

Л (г) , 2 dB dr

dp2 г dp dp

¦ sin 0 COS 0

(^)2. (8.4.4)

(Штрих означает d/dr.) Мы решим эти уравнения, отыскивая интегралы движения.

Так как поле изотропно, можно считать, что орбита рассматриваемой частицы расположена в экваториальной плоскости, т. е.

8 = -2-. (8.4.7)

Тогда (8.4.4) удовлетворяется тривиально, и мы можем забыть о 0 как о динамической переменной. Разделив затем уравнения (8.4.5) и (8.4.6) на dtp/dp и dt/dp соответственно, находим

iW^ + 1-2}=0- (^-8>

W {ln -^ + ln5I=0- (8-4-9)

Это приводит к двум интегралам движения. Один из них можно включить в определение р, поскольку р выбирается таким образом, чтобы решение (8.4.9) имело вид 202 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed