Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
M=N{N-l) -(2N-3)={N-2)^N-S) . (1.1.3)
В простейшем нетривиальном случае JV = 4 легко показать, что расстояния dmn между т-й и п-й точками связаны соотношением
О = (?? + dlisd\t + d^d2 з + d*3d^ + d\td]s + dl?\z + d^d^d^ -f-
J_ Jl Jl Jl 1 Jl Jl J2 . Jl Ji Jl Jl Jl Jl Jl Jl'Jl Jl Jl Jl
-T 24 41 і 13 34 41 "Г ^23 34 42 al2a23uU ui3a32aZl иі2и24и43
— rl2 d2 d2 — H2 rl2 rl2 — d- d2 rl2 _ rl2 d2 d2 — d2 d2 d2 _d2 d2 d2 —
14 42 23 13 34 42 "14^43^32 "23^31^14 u'21u'13u24 ""24^41^13
— d2 d2 d2 — d2 d>- d2 — d2 d2 d2 l\ 1 41
21 14 43 31 12 24 а32а2іаЦ- V1 • 1 • 4J
Это соотношение удовлетворяется на любом односвязном участке поверхности цилиндра или конуса, так как эти фигуры обладают теми же внутренними свойствами, что и плоскость.
Однако уже протяженности авиационных маршрутов между любыми четырьмя городами не будут удовлетворять соотношению (1.1.4), так как поверхность Земли имеет иные внутренние свойства. Длины авиамаршрутов связаны другим соотношением, § 1. История создания неевклидовой геометрии
19
Фиг. 1.1. Карта Средней Земли1). Является ли Средняя Земля плоской?
соответствующим сферической поверхности. С помощью этого соотношения можно также определить радиус Земли, хотя это не самый удобный метод и не им пользовался Эратосфен. Существенно, однако, то, что кривизна поверхности Земли может быть определена из локальных внутренних свойств этой поверхности.
Обладая богатым воображением, можно представить себе множество метрических функций d, (X, X). Гаусс внес значительный вклад в выделение одного частного класса метрических пространств, достаточно широкого, чтобы включать в себя пространство Гаусса, Бойяи, Лобачевского и обычные кривые поверхности, но достаточно узкого, чтобы иметь право называться геометрией. Он предположил, что в любой достаточно малой области пространства можно ввести локальную евклидову систему координат (H1, E2), такую, что расстояние между двумя точками с координатами (E1, H2) и (E1 + ^E1, E2 + <2Е2) удовлетворяет теореме Пифагора
dsz = d?*i+dll. (1.1.5)
1 Из трилогии Толкина «Повелитель колец»,— Прим. ред.
2* 20
Гл. 1. Историческое введение
Такую локальную евклидову систему координат можно задать, например, в любой точке гладкой кривой поверхности, используя декартовы координаты на плоскости, касающейся рассматриваемой поверхности в данной точке. Однако рассуждение Гаусса ни в коей мере не связано с внешними свойствами поверхности, оно относится только к внутренним метрическим свойствам бесконечно малой окрестности выбранной точки.
Если поверхность неевклидова, то ни в какой конечной ее части нельзя ввести евклидову систему координат (I1, |2) и> следовательно, нельзя удовлетворить теореме Пифагора. Допустим, что все же имеется некая система координат (X1, х2), покрывающая кривое пространство. Возникает вопрос: какую форму принимает в такой системе координат предположение Гаусса? Легко вычислить, что расстояние ds между точками (X1, х2) и (X1 + Clx1, X2 + dx2) будет задаваться следующим образом:
ds2 = git (X1, х2) dx\ + 2gi2 (X1, х2) X
X dx{ dx2 + g2i (xu хг) dx\, (1.1.6)
где
(Jf)'-
Такая форма ds2 — признак метрического пространства. [В гл. 3 мы увидим, что справедливо и обратное утверждение: в произвольной точке любогопр остранства с ds, определяемым (1.1.6), можно выбрать локальные евклидовы координаты I1, |2, удовлетворяющие (1.1.5).] Для сферы радиуса а можно использовать полярные координаты 0, ф; тогда метрика определяется следующим образом:
?ее = a2, gQф = 0, gw = а2 ein2 6. (1.1.8)
Сомножитель sin2 0 в ?фф как раз и придает сфере внутренние евойства, отличные от тех, которые имеет плоскость. В геометрии Гаусса, Бойяи и Лобачевского можно использовать координаты X1, X2 модели Клейна и с помощью приведенной выше формулы для d (х, X) показать, что § 1. История создания неевклидовой геометрии
21
Длину любого пути можно определить, интегрируя ds вдоль всего пути.
Метрические функции gij определяют все внутренние свойства метрического пространства, но сами при этом зависят от выбора координатной сетки. Если, например, для описания плоскости использовать полярные координаты г, 0, то метрические функции будут иметь вид
*гг = 1, ^9 = O1 = (1.1.10)
Хотя эти формулы и не выглядят формулами евклидова пространства, они описывают евклидово пространство, что можно формально показать, переходя к декартовым координатам х = г cos 0, у = г sin 0. В более общем случае переход от координат (x1, x2) к координатам (xj, х2) будет переводить метрические функции gi} в новые функции gij, где, например,
«/ - / dh / Sl2 \2 / dh Sx1 Hji дх2 у
^11 ~ \ дх[ ) \ дх{ ) \ дхі дх[ "г дх2 дх1 ) ^
, /%.?? ,ІкІЇІ\2=„ ( дх2 V і
"г \ дх, дх[ "г дх2 дх[ ) ^11 \ дх{ )
+ 2Є„-|J-^ + fa^)'. (ІЛЛІ)
Что же можно сказать о внутренних свойствах пространства, рассматривая его метрические коэффициенты? Очевидно, необходима некоторая функция от gtj и его производных, которая зависела бы только от внутренних свойств пространства и не зависела, как зависит gij, от выбора конкретной системы координат.
