Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Решение Шварцшильда
Рассмотрим теперь уравнения поля Эйнштейна в общей статической изотропной метрике. Воспользуемся стандартной формой, введенной в предыдущем параграфе, т. е.
dx2 = В (г) dt2 - А (г) dr2 - r2d№ - г2 sin2 0<&р2. (8-2-1)
Уравнения поля Эйнштейна в пустом пространстве имеют вид
Riiv = 0. (8.2.2)
В рассматриваемой метрике компоненты тензора Риччи задаются выражениями (8.1.13). Из них видно, что достаточно приравнять нулю компоненты Rrr Ree и Rti. Видно также, что выполняется соотношение
13* 196
Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
а потому (8.2.2) требует равенства В'IB = —А'!А или
А (г) В (г) = const. (8.2.4)
Наложим далее на А и В граничные условия, вытекающие из требования, чтобы метрический тензор при г —»- оо стремился к тензору Минковского, записанному в сферических координатах:
Iim А (г) = Iim 5 (г) = 1. (8.2.5)
г->оо г-*- оо
Тогда из (8.2.4) и (8.2.5) следует
А (г) (8.2.6)
Так как выражение (8.2.3) теперь равно нулю, остается приравнять нулю Rrr и R6д. Подставляя (8.2.6) в (8.1.13), получаем
R9B =- i +В'{г) г+ В (г), (8.2.7)
В" (г) В' (г) _ Дее (г) ,Я98,
Лгг~ Istji^lrBJr)- IrB (г) ' (o.A.O)
так что оказывается достаточным приравнять нулю i?ee, T- е. L-(rB(r)) = rB' (г)+5(г) = 1.
Решение этого уравнения имеет вид
rB (г) = г + const. (8.2.9)
Чтобы отыскать постоянную интегрирования, вспомним, что на больших расстояниях от центральной массы M компонента gtt = == —В должна стремиться к величине (— 1 — 2ф), где ф — ньютоновский потенциал, равный -MGIr (см. § 4 гл. 3). Следовательно, константа интегрирования равна —2MG и в окончательном виде решение выглядит так:
Д(г) = [ 1—(8.2.10) ^[l--^]-1. (8.2.11) Тогда полная метрика записывается следующим образом:
JT2 = [ 1 _ Ш. J dt2 _ [ ! _ J--1 diz _ г2 т _ r2 s in2 0 d(p2 _
(8.2.12)
Это решение было найдено Шварцшильдом в 1916 г.
Решение Шварцшильда найдено нами в «стандартной» форме. Мы можем также записать его в эквивалентной «изотропной» форме, вводя новую переменную для радиуса:
р з= J- [г — MG -f (г2 — 2MGr)1/2-] (8.2.13) § 2. Решение Шварцшилъда
197
яли
/„ , MG \ 2
Подставляя это выражение в (8.2.12), получаем
d%z=і i+iw ^2 - (1 + ж)4 (ф2+р2 dQ2+р2 sin2 0 йф2) ¦
(8.2.14)
Можно также построить гармонические координаты
X1 = R sin 0 cos ф, X2 = R sin 0 sin ф, X3 = R cos 0; t,
где в качестве R следует использовать решение дифференциального уравнения (8.1.15), имеющего вид
Выберем следующее его решение:
R = г - MG. Тогда метрика будет выглядеть так:
Ч-Ж) jEl <*¦«>¦• <8-2-15>
где, естественно, R2 = X2.
Ориентируясь на ньютоновскую теорию, приравняем постоянную интегрирования M массе Солнца. И действительно, можно показать, что M точно равно полной энергии P0 Солнца, включая энергию его гравитационного поля. Запишем метрику в стандартной форме в соответствии с определениями
X1 e= г sin 0 COS ф, X2 = г sin 0 sin ф, X3 = Г COS 0.
Тогда формула (8.2.12) переписывается в виде
eft. - {[і -^]"1- 1} ^ (X. &)»-&».
Гак как g?V не зависит от времени, a gi0 исчезает, из формулы (7.6.22) следует, что полный импульс системы Pi равен нулю. По так и должно быть, поскольку рассматриваемая система — статическая и изотропная. Чтобы вычислить полную энергию, нужно выяснить асимптотическое поведение пространственной части метрики. Когда г-*- оо, получаем
г, я 2MG і п і M
hu ^gij- Oij-+-^- ПіПі + О J , 198 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
где Tii = хг1г. Чтобы вычислить теперь интеграл (7.6.21), воспользуемся выражениями
дг дп, SiJ- TiiHj
-г== Щ, -г =-
дх» дх' г
и найдем
dhjj dhij ^MG . -.і 1 \
так что формула (7.6.23) приводит в этом случае к полной энергии вещества и гравитационного поля, равной
P0 = М. (8.2.16)
Читатель может убедиться, что тот же самый результат следует из изотропной и гармонической форм решения Шварцшильда. И наконец, формула (7.6.24), как и следовало ожидать, дает для полного углового момента системы нулевое значение.
§ 3. Другие метрики
Общие кинематические ограничения, накладываемые принципом эквивалентности, имеют гораздо более твердое обоснование, чем уравнения поля Эйнштейна. Действительно, в гл. 3, 4, 5 мы перешли почти с неизбежностью от равенства гравитационной и инертной масс к полному аппарату тензорного анализа и общей ковариантности. Напротив, вывод уравнений Эйнштейна в гл. 7 содержал ряд догадок и, во всяком случае, не решал вопроса о существовании дальнодействующего скалярного поля типа поля Бранса — Дикке, изменяющего сами уравнения. Поэтому очень полезно, проверяя теорию относительности, считать, что, хотя законы движения частиц и фотонов в данном метрическом поле остаются справедливыми, сама метрика может отличаться от той, которую дают уравнения Эйнштейна.
В любом случае мы могли бы ожидать, что метрика, создаваемая сферически симметричным телом, подобным Солнцу, должна выражаться в «стандартной», «изотропной» и «гармонической» формах, найденных в § 1 этой главы. Далее, мы могли бы предполагать, что метрические коэффициенты [например, А (г) и В (г)] могут быть разложены в степенные ряды по малому параметру MGIr. Такое разложение метрики в изотропной форме было найдено Эддингтоном и Робертсоном [1, 2]:
