Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 68

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 254 >> Следующая


dx2 = F (г) dt2 — 2E (г) dt х -dx —

- D (г) (x-dx)2 - С (г) dx2, (8.1.1)

где F, Е, D и С — неизвестные функции величины

г = (X-X)VS.

(Скалярные произведения трехмерных векторов определены во всей этой главе обычным образом, например: х -dx = x1dxl + + x2dx2 + x3dx3 и т. д.) Более глубокое обоснование выражения (8.1.1) будет дано в гл. 13. Для настоящих целей можно рассматривать (8.1.1) как определение статической изотропной метрики или, альтернативно, как исходную формулу, которая позволит нам отыскать некоторые из решений уравнений поля.

Удобно заменить х сферическими полярными координатами т, 0, ф, определенными обычным образом:

X1 = г sin 0 COS ф, X2 = г sin 0 sin ф, X3 = Г COS 0. Интервал собственного времени (8.1.1) принимает тогда вид dx2 = F (г) dt2 — 2гЕ (г) dt dr —

— r2D (г) dr2 - С (г) (dr2 + r2dQ2 + г2 sin2 0Лр2).

(8.1.2)

Мы вольны установить наши часы в соответствии с определением новой временной координаты

*'===* + Ф (г),

где Ф — произвольная функция г. Это позволяет исключить недиагональный элемент gtr, положив

ДФ__гЕ (г)

dr ~~~ F (г)

Тогда интервал собственного времени (8.1.2) выражается следующим образом:

Jt2 = F (г) dt'2-G (г) dr2 - С (г) (dr2 -f г2 dQ2 + г2 sin2 0 Jcp2) (8.1.3) § 1. Общий случай статической изотропной метрики 193

где

G (г) ^ (D(r)+^r1).

Мы можем также переопределить радиус г и наложить тем самым еще одну связь на функции F, G и С. Например, предположим, что мы ввели

г'2 - С (г) г2.

Тогда выражение (8.1.3) записывается в так называемой стандартной форме

й%2 = В (r') dt'z — A (r') dr'2 — г'2 (dB2 -f sin2 0 d<p2), (8.1.4)

где

B(r')^F[r),

Альтернативно можно было бы определить

f , 6 И \1/2 dr

и тогда (8.1.3) записалось бы в так называемой изотропной формех dx2 = H (r") dt'2-J (r") (dr"2 + г"2 dB2 + г"2 sin2 6 dtp2), (8.1.5)

H(r")^F(r), T / ГІ\ _ C(r)r*

J (0 = -pr-

Большей частью мы будем иметь дело со «стандартной» формой

d т2 = В (г) dt2 - Л;(г) dr2 - г2 (de2 + sin2 6 йф2). (8.1.6)

(Штрихи у г и t далее будем опускать.) Метрический тензор имеет следующие ьеисчезающие компоненты:

grr = A (г), gee = г2, gw = г2 sin2 0, g„=-B[r), (8.1.7)

где функции А (г) я В (г) должны быть определены путем решения уравнений поля. Так как guV — диагональный тензор, легко написать все неисчезающие компоненты тензора, обратного ему:

g" = A-* (г), see = r-2,

?W = r2(sin0)-2, gft — —В'1 (г)- (8.1.8)

Кроме того, детерминант метрического тензора равен —g, где

g = rM (г) В (г) sin2 0, (8.1.9)

13-0788 194 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна

так что инвариантный элемент объема имеет вид

Vg dr dQ йф = г2 V A [r) В (г) sin 6 dr dQ dq>. (8.1.10)

Аффинная связность может быть вычислена с помощью обычной формулы:

1^- 2 [ dxv + dxV. дхР )¦

Ее неисчезающие компоненты оказываются равными:

Гг — 1 dA (г) Гг — — г

rr~ IA (г) dr ' 00 — А (г) '

¦рг __ Г Sin2 0 „г і dB (г)

W ~ JJr)~ ' ^Tw ~~1Г~ '

Гг9е = Гег — , Гфф = — sin О COS в,

С = ГГ\ = 1, Гфе = Г$ф = ctg о,

Нам необходим также тензор Риччи. Он задается формулами (6.2.4) и (6.1.5) следующим образом:

пХ. дт-А.

JV= ^f--?- ¦+ ГЦь^ - TlxTl. (8.1.12)

дх дх

Заметим, что, несмотря на его внешний вид, первый член в нем симметричен по [x и x, поскольку из (4.7.6) следует, что rjj.-,. равно V2 д In glдXV-.] Подставляя в (8.1.12) компоненты аффинной связности (8.1.11), находим

Rr

В"(г) 1 / В' (г) \ I А' (г) , В' (г) ^ 1 I А' (г) \ я „

"Iwi Iw+W J-T (-T(Tr)' (8ЛЛЗ)

2В (г) 4

И л і г ( А'(г) В' (г) \__1_

лее — 1T2 А (г) ^ А (г) "г" В (г) А (г) ' Rqq, = Sin2 0і?ее,

P В" (г) , 1 / В' (г) \ ( А' (г) , В' (г)

Zti/ =

1 ( В' (г) \ ( А' (г) ¦ ig'f) \ і ( В' (г) \

і \ Л (г) ) \ А (г) В (г) ) г \ А {г) ) '

2А(т)

rixv = o для h^=v.

(Штрих теперь означает дифференцирование по г.) Вывод о том, что Rre, Rrqn Rt9, Rtq, и і?0ф исчезают, и о том, что Дфф = = sin2 Єі?ее, является просто следствием инвариантности метрики относительно вращений. Равенство нулю Rrt связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантной при обращении времени t —»- —t. § 2. Решение Шварцшилъда

195

Ни стандартные, ни изотропные координаты не являются гармоническими, но легко использовать для построения гармонических координат X1, X2, X3, t результаты (8.1.7) и (8.1.11), найденные для метрики и аффинной связности и записанные в стандартных координатах. Введем гармонические координаты так:

X1 = R (г) sin 0 cos ф, X2 = R (г) sin 0 sin ф,

X3 = R (г) cos 0. (8.1.14)

Тогда непосредственные вычисления дадут

и

D2* = О

для стандартной временной координаты t.

Таким образом, координаты X1, X2, X3, t являются гармоническими, если R (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

-Lr (T2BviA-1'2 ) - 2AlhBlhR = 0. (8.1.15)

В этих гармонических координатах собственное время (8.1.6) записывается следующим образом:

dx2 = Bdt2-LLdX2-[-JPJPi---?-] (X.dX)2. (8.1.16)
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed