Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
dx2 = F (г) dt2 — 2E (г) dt х -dx —
- D (г) (x-dx)2 - С (г) dx2, (8.1.1)
где F, Е, D и С — неизвестные функции величины
г = (X-X)VS.
(Скалярные произведения трехмерных векторов определены во всей этой главе обычным образом, например: х -dx = x1dxl + + x2dx2 + x3dx3 и т. д.) Более глубокое обоснование выражения (8.1.1) будет дано в гл. 13. Для настоящих целей можно рассматривать (8.1.1) как определение статической изотропной метрики или, альтернативно, как исходную формулу, которая позволит нам отыскать некоторые из решений уравнений поля.
Удобно заменить х сферическими полярными координатами т, 0, ф, определенными обычным образом:
X1 = г sin 0 COS ф, X2 = г sin 0 sin ф, X3 = Г COS 0. Интервал собственного времени (8.1.1) принимает тогда вид dx2 = F (г) dt2 — 2гЕ (г) dt dr —
— r2D (г) dr2 - С (г) (dr2 + r2dQ2 + г2 sin2 0Лр2).
(8.1.2)
Мы вольны установить наши часы в соответствии с определением новой временной координаты
*'===* + Ф (г),
где Ф — произвольная функция г. Это позволяет исключить недиагональный элемент gtr, положив
ДФ__гЕ (г)
dr ~~~ F (г)
Тогда интервал собственного времени (8.1.2) выражается следующим образом:
Jt2 = F (г) dt'2-G (г) dr2 - С (г) (dr2 -f г2 dQ2 + г2 sin2 0 Jcp2) (8.1.3)§ 1. Общий случай статической изотропной метрики 193
где
G (г) ^ (D(r)+^r1).
Мы можем также переопределить радиус г и наложить тем самым еще одну связь на функции F, G и С. Например, предположим, что мы ввели
г'2 - С (г) г2.
Тогда выражение (8.1.3) записывается в так называемой стандартной форме
й%2 = В (r') dt'z — A (r') dr'2 — г'2 (dB2 -f sin2 0 d<p2), (8.1.4)
где
B(r')^F[r),
Альтернативно можно было бы определить
f , 6 И \1/2 dr
и тогда (8.1.3) записалось бы в так называемой изотропной формех dx2 = H (r") dt'2-J (r") (dr"2 + г"2 dB2 + г"2 sin2 6 dtp2), (8.1.5)
H(r")^F(r), T / ГІ\ _ C(r)r*
J (0 = -pr-
Большей частью мы будем иметь дело со «стандартной» формой
d т2 = В (г) dt2 - Л;(г) dr2 - г2 (de2 + sin2 6 йф2). (8.1.6)
(Штрихи у г и t далее будем опускать.) Метрический тензор имеет следующие ьеисчезающие компоненты:
grr = A (г), gee = г2, gw = г2 sin2 0, g„=-B[r), (8.1.7)
где функции А (г) я В (г) должны быть определены путем решения уравнений поля. Так как guV — диагональный тензор, легко написать все неисчезающие компоненты тензора, обратного ему:
g" = A-* (г), see = r-2,
?W = r2(sin0)-2, gft — —В'1 (г)- (8.1.8)
Кроме того, детерминант метрического тензора равен —g, где
g = rM (г) В (г) sin2 0, (8.1.9)
13-0788194 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
так что инвариантный элемент объема имеет вид
Vg dr dQ йф = г2 V A [r) В (г) sin 6 dr dQ dq>. (8.1.10)
Аффинная связность может быть вычислена с помощью обычной формулы:
1^- 2 [ dxv + dxV. дхР )¦
Ее неисчезающие компоненты оказываются равными:
Гг — 1 dA (г) Гг — — г
rr~ IA (г) dr ' 00 — А (г) '
¦рг __ Г Sin2 0 „г і dB (г)
W ~ JJr)~ ' ^Tw ~~1Г~ '
Гг9е = Гег — , Гфф = — sin О COS в,
С = ГГ\ = 1, Гфе = Г$ф = ctg о,
Нам необходим также тензор Риччи. Он задается формулами (6.2.4) и (6.1.5) следующим образом:
пХ. дт-А.
JV= ^f--?- ¦+ ГЦь^ - TlxTl. (8.1.12)
дх дх
Заметим, что, несмотря на его внешний вид, первый член в нем симметричен по [x и x, поскольку из (4.7.6) следует, что rjj.-,. равно V2 д In glдXV-.] Подставляя в (8.1.12) компоненты аффинной связности (8.1.11), находим
Rr
В"(г) 1 / В' (г) \ I А' (г) , В' (г) ^ 1 I А' (г) \ я „
"Iwi Iw+W J-T (-T(Tr)' (8ЛЛЗ)
2В (г) 4
И л і г ( А'(г) В' (г) \__1_
лее — 1T2 А (г) ^ А (г) "г" В (г) А (г) ' Rqq, = Sin2 0і?ее,
P В" (г) , 1 / В' (г) \ ( А' (г) , В' (г)
Zti/ =
1 ( В' (г) \ ( А' (г) ¦ ig'f) \ і ( В' (г) \
і \ Л (г) ) \ А (г) В (г) ) г \ А {г) ) '
2А(т)
rixv = o для h^=v.
(Штрих теперь означает дифференцирование по г.) Вывод о том, что Rre, Rrqn Rt9, Rtq, и і?0ф исчезают, и о том, что Дфф = = sin2 Єі?ее, является просто следствием инвариантности метрики относительно вращений. Равенство нулю Rrt связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантной при обращении времени t —»- —t.§ 2. Решение Шварцшилъда
195
Ни стандартные, ни изотропные координаты не являются гармоническими, но легко использовать для построения гармонических координат X1, X2, X3, t результаты (8.1.7) и (8.1.11), найденные для метрики и аффинной связности и записанные в стандартных координатах. Введем гармонические координаты так:
X1 = R (г) sin 0 cos ф, X2 = R (г) sin 0 sin ф,
X3 = R (г) cos 0. (8.1.14)
Тогда непосредственные вычисления дадут
и
D2* = О
для стандартной временной координаты t.
Таким образом, координаты X1, X2, X3, t являются гармоническими, если R (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
-Lr (T2BviA-1'2 ) - 2AlhBlhR = 0. (8.1.15)
В этих гармонических координатах собственное время (8.1.6) записывается следующим образом:
dx2 = Bdt2-LLdX2-[-JPJPi---?-] (X.dX)2. (8.1.16)