Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
(7.6.16) 186
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
Е. По способу построения Tv*- есть явно тот «тензор» энергии-импульса, который мы определяем при измерении гравитационного поля, создаваемого какой-либо системой. Существует много возможных определений «тензора» энергии-импульса поля гравитации, обладающего большинством хороших свойств нашего тензора (эти определения обычно основываются на принципе наименьшего действия; см. гл. 12), но tUK выделен особой его ролью в (7.6.3), где он фигурирует в качестве источника Jiliv.
Ж. Хотя вычисление для конкретных физических проблем может быть затруднительным, к счастью, можно избежать этих вычислений, если все, что мы хотим знать,— это полная энергия и импульс системы. Левая часть уравнения поля (7.6.3) может быть записана в виде
RlW-I = Qpvk, (7.6.18)
где
Заметим, что Qpvk антисимметрично по первым двум индексам
QPvk= -Qvpk, (7.6.20)
из чего следует дифференциальное тождество (7.6.6). Используя уравнения поля (7.6.3) вместе с (7.6.18), найдем следующее значение полного «вектора» энергии-импульса:
^ = і ——Lr ( i^tf*.
8лG J дхР 8лG J дхі
V V
Применяя затем теорему Гаусса, получаем
^ = - 8йё j Ci0V2 d?. (7.6.21)
Интеграл здесь берется по большой сфере радиусом г; п — внешняя нормаль к ней, a dQ, — бесконечно малый элемент телесного угла, т. е.
г = Crj-Ti)1/2, U1 = L dQ = sin 0а!0<2(р.
(По повторяющимся латинским индексам производится суммирование по значениям 1, 2, 3.) Более подробно полная энергия и им- § 6. Энергия, импульс и угловой момент поля
187
пульс с помощью (7.6.19) и (7.6.21) записываются так:
pi___Г / _^ftft fi.. +
Р - 16лб J \ dt Ї
+ + (7.6.22)
01і ot J
P0= —TtTTr f (A-i^L) n,r2d?. (7.6.23)
16nG J I dxi dxj / v '
По аналогии «тензор» полного углового момента (7.6.13)
Jvk = j (? (а*тоь_ x40v) = Iii. j ^ e^i .
Как отмечалось в § 9 гл. 2, представляющие физический интерес компоненты /v^ — это три независимые чисто пространственные компоненты
./j = ,/23, ,Z2 = ,/31, "^3 ^= Ji2.
Используя, как и выше, теорему Гаусса, находим эти компоненты в виде
Tih _ 1 f / т dfrpft dhpj dhhi dhjj
J - - 16nG J \ ~Xl~?T + Xh~?r + X>-Tt Xh~ +
+ H0hSij- A0Aft } Bjr2 Д2. (7.6.24)
Таким образом, для того чтобы вычислить полный импульс, энергию и угловой момент произвольной конечной системы, необходимо знать асимптотическое поведение hvv на больших расстояниях.
3. Было показано, что P0 всегда положительно и принимает нулевое значение только в пустом пространстве, свободном от всякой материи [5—8].
И. Хотя Tv^ не является тензором, a Px — вектором, полная энергия и импульс обладают важным свойством инвариантности при любых преобразованиях координат, сводящихся на бесконечности к тождественным. Такие преобразования должны иметь форму
х» ->- X V- = X» + Б^ (х),
где е^ (х) исчезает при г —>- оо, хотя на конечных расстояниях ем. (X) не обязательно мало. Метрический тензор в новой системе координат равен
При г —*• оо как е^, так и Uilv малы, а потому мы можем вычислить g'w в первом порядке по в^ и Iivlv, полагая gpa ~ t]po—Apo 188
Гл. 7. У равнения поля Эйнштейна
и производя разложения по малым параметрам. Это дает
g'»v C^ Titiv — H^v,
где
дху ox11
Тогда изменение величины (7.6.19), создаваемое таким преобразованием координат, равно при г -»- оо
- T { - ТЪГ ^ + ТП- ^ + D4^ -
^ I Oxli dxv дх» дХп
дХр дх\ 1 дху дхх
_„2 р vX d4v . дЧ° Л
дхв дхх dxv дхх і '
или
где
AOpvx = 3 Dcpvx V дха
дХр 1 r dxv Ч /
Заметим, что D полностью антисимметрично по первым трем его индексам
Jyjpv1K _ _^pgvfv _ __^OvpX _ ^ypg/.
и, следовательно, изменение поверхностного интеграла вычисляется так:
APx =
« j (-s^V--
8л G \ с / япЯО*.
8JtG J \ Qx)
или, применяя снова теорему Гаусса, получаем
AP'
1 <* ' Я2ПІІ0Х.
SnG
f W3^ = O. (7.6.25)
J V дхі дхі і
В качестве следствия отметим, что Px преобразуется как 4-вектор при любых преобразованиях, оставляющих неизменной метрику Tijtv на бесконечности, поскольку любые такие преобразования могут быть выражены как произведение преобразования Лоренца § 6. Энергия, импульс и угловой момент поля
189
хи A^vTv + a? (при котором Pk преобразуется как 4-вектор; см. пункт Г) на преобразование, становящееся на бесконечности тождественным (и, следовательно, не изменяющее Px).
К. Если вещество в нашей системе разделяется на отдельные удаленные подсистемы Sn, гравитационное поле можно вычислить приближенно, записывая Ativ в виде суммы полей /^v, создаваемых каждой подсистемой отдельно. (Интерференционными членами между различными /^v в можно пренебречь, поскольку в любом месте, где одно из h?v велико, все другие поля малы.) Тогда, используя способ вычисления Pk, приведенный в пункте Д, можно полную энергию и импульс представить как сумму значений Рпк для каждой системы отдельно.
Определяемый выражением (7.6.9) «вектор» энергии-импульса Pk сохраняется, является лоренцевым 4-вектором и обладает свойством аддитивности. Какие вопросы могут еще возникнуть? Любые четыре величины, обладающие указанными свойствами, определены единственным образом и являются обычным импульсом и энергией (что формально можно показать, применяя законы сохранения к акту столкновения, в котором удаленные подсистемы сталкиваются, взаимодействуют и затем уходят снова на бесконечность [9]).
