Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
gfiv = 4xv + fyxv, (7.6.1)
причем Jzllv исчезает на бесконечности. (Однако не предполагается, что Ziliv мало повсюду.) Часть тензора Риччи, линейная по h^v, равняется
r(i) — iI ___ё___и і " \ (7 P1
2 \ дхКдхк І" дххдхх ) ¦ I'-0-^ § 6. Энергия, импульс и угловой момент поля
183
[См. выражение (6.6.2).] Удобно условиться о том, что индексы у Iillv, R\ll и д/дхх поднимаются и опускаются с помощью т}, например = T^aVitw и д/дх^= i}"vd/dxy, в то время как индексы у истинных тензоров, таких, как Rlllt, поднимаются и опускаются с помощью g, как обычно.] Точные уравнения Эйнштейна можно тогда записать в виде
Д%*—g-W*(1)\= + (7.6.3)
где
= -g^g- [Riix — у gv*R\ — RilIy, + Y тіIixRii} • (7.6.4)
Уравнение (7.6.3) имеет как раз ту форму, которая присуща волновому уравнению поля со спином 2 (см. § 2 гл. 10), но с той особенностью, что его «источник» T^x + Іцх явно зависит от поля hJtv. Интерпретируем эту особенность утверждением о том, что поле Iiiiv порождается полными плотностями и потоками энергии и импульса, a ^jtx есть «тензор» энергии-импульса лишь самого гравитационного поля. Это значит, что мы интерпретируем величину
TVX= rf^*^*+ W (7.6.5)
как полный «тензор» вещества гравитационного поля. Можно назвать несколько свойств т"1^, говорящих в пользу такой интерпретации.
А. Величины Д<!> подчиняются линеаризованным тождествам Бианки
_ЭГд(Dvb 1 И 0i (7А6)
дх L і J
Следовательно, из уравнения поля (7.6.3) вытекает, что Tv^ локально сохраняется:
-Tvx = O. (7.6.7)
dxv
Заметим, что, хотя Tvx подчиняется ковариантному закону сохранения TvX ;v = 0, который явно описывает обмен энергией между веществом и полем гравитации, величина Tvk сохраняется в обычном смысле. В частности, для любой конечной системы объема V, ограниченной поверхностью S, уравнение (7.6.7) утверждает, что
A J T0^z=-JTVdS.
v s
(7.6.8) 184
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
Здесь п — единичная внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности. Следовательно, величину
Pk = (Wz (7.6.9)
можно интерпретировать как полный «вектор» энергии-импульса такой системы, включающей вещество, электромагнитное поле и поле гравитации; при этом тЛ — соответствующий поток. Б. Кроме того, что Xvk сохраняется, оно симметрично
Tvx- = T^, (7.6.10)
и, следовательно,
где
J-Milvk = 0, (7.6.11)
дхи ' 4 '
Mllvk = Xilkxv - Xilvxk. (7.6.12)
Таким образом, можно интерпретировать M0vk и Mivk как плотность и ноток полного углового момента
Jvk = j d3xM0vk = -Jkv, (7.6.13)
который постоянен, если величина Mivx равна нулю на поверхности, ограничивающей объем интегрирования.
В. Можно вычислить разлагая его по степеням h, и найти, что первый член его квадратичен:
t --J-F--I h Д(1)\о-1т1 hpaR(i) 4-Rc2) —
ЇЦЯ ~ gjjg I--2 nV-Kjrl k ' Y ^lx nPH Tfl U« —
-|^P<Ti?(2)pa] + 0(fe3). (7.6.14)
Здесь — член второго порядка по In в тензоре Риччи, задаваемый (6.6.2) в виде
о(2) _ 1 tf-v Г d2hXv d4uv d*hkK дЧт 1
^k 2 L дхЛ дх^ дх* dxk dxv дх» ^ дхv дхк J +
Ir2^vCr ^vV -і r dh\
+ dxv дх° J L дх* + дх» дха J _Irjft2X і Г-^ji
Можно было бы ожидать, что по аналогии с электродинамикой «тензор» энергии-импульса гравитации будет начинаться с члена, § 6. Энергия, импульс и угловой момент поля 185
квадратичного по Hliv. [Сравните с выражением (2.8.9).] Присутствие в членов третьего порядка и выше означает просто, что-гравитационное взаимодействие поля тяготения с самим собой также дает вклад в полную энергию и импульс. Конечно, когда гравитационное поле слабо, Iiiiv будет малым, так что введение t%v в (7.6.5) (и использование т] для опускания индексов) не приводит к каким-нибудь серьезным изменениям в энергии и импульсе физических систем.
Г. Хотя величины ххХ и M^ не являются общековариант-ными, они все же по крайней мере лоренц-ковариантны. Поэтому для замкнутой системы Px и Jvx не только постоянны, но и являются лоренц-ковариантами (см. § 6 гл. 2).
Д. В начале этого параграфа мы решили работать в системе координат, в которой компоненты Iiily исчезают на бесконечности. На больших расстояниях от конечной материальной системы, создающей гравитационное поле, Tllil = 0, а порядка h2, так что источник в правой части уравнения поля (7.6.3) эффективно сохраняется в конечных областях. Это предполагает, что в большинстве физических ситуаций Jiiiv ведут себя на больших расстояниях, как потенциалы в электростатике или в теории тяготения Ньютона, т. е. при г оо имеем
j^-Ol').
дхх dxP V гЗ /
В этом случае (7.6.14) дает
^h = O (^), (7.6.17)
так что интеграл oxdsx, определяющий полную энергию и импульс, сохраняется. Для этой цели и важно было идентифицировать систему координат с системой, близкой к системе Минков-ского: если бы g?V переходила на бесконечности в метрику сферических полярных координат, то наши определения (7.6.1) и (7.6.4) приводили бы к плотности гравитационной энергии, растущей на бесконечности! (Заметим, однако, что оценки (7.6.16) и (7.6.17) не всегда справедливы. Если система все время излучает гравитационные волны (см. гл. 10), то Hiiv осциллирует так. что OhiivIdxx и d2hilV/dxxdxр имеют тот же самый порядок, что и метрика Iiiiv. Это дает бесконечную полную энергию, которая, как и следовало ожидать, должна содержаться в поле гравитационного излучения, заполняющего все пространство. В этом случае члены, нечетные по Uiiv, ведут себя как 1 Ir [4].)
