Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
2S дх* S дхк& '
[Cm. (4.7.5).] Отсюда следует
Г -S-1^fc1Vx), (7.4.5)
и условия, приводящие к гармоническим координатам принимают вид
JfWgi*) = 0. (7.4.6)
Теперь мы в состоянии объяснить термин «гармонические координаты». Говорят, что функция <f> гармоническая, если равно нулю Q2^, где Q3 есть инвариантный даламбертиан, определяемый следующим образом:
? (7-4-7)
Используя (4.7.1), (4.7.7) и (4.7.5), получаем
дЧ рД дф дхк дх* дхх
= (7.4.8)
Если Г^ = 0, то координаты являются гармоническими функциями (7.4.9), оправдывая, таким образом, название «гармоническая» для такой системы координат.
В отсутствие гравитационных полей явно гармоническая система координат — это система Минковского, в которой gh% = = Tjb4 и g = 1, так что (7.4.6) выполняется тривиальным образом. При наличии слабых гравитационных полей гармонические системы координат могут рассматриваться как близкие к системе Минковского. Другое, вытекающее отсюда преимущество гармо-яических координатных условий — это то, что, как показано в гл. 9 и 10, их использование чрезвычайно упрощает уравнения для слабых полей, подобно тому, как лоренцева калибровка упрощает уравнения Максвелла. § 5. Задача Kouiu
181
§ 5. Задача Коши
Попробуєм проникнуть глубже в математическую природу уравнений Эйнштейна, поставив традиционную задачу Коши с начальными условиями. Предположим, что gliv и OgtlJdx0 заданы повсюду «в плоскости» х° = t. Если мы могли бы извлечь из уравнений поля выражение для d2gvJd (х0)2 во всей плоскости X0 = t, мы могли бы затем вычислить gJtv и dg^Jdx0 в момент времени X0 = t + Ы и, продолжая этот процесс, вычислить gvv для всех
Xі и X0.
На первый взгляд это выглядит осуществимым, поскольку нам необходимо знать 10 производных второго порядка и имеется 10 уравнений поля. Посмотрим, однако, внимательнее на уравнения поля G^ = R»v — l/2g»vR. Тождества Бианки (6.8.4) приводят к соотношению
д _ 9 «ці -рц /-iXv -pv ,^цА
^Olj =--дхї -1VAb- -IvAb •
В правой части здесь нет производных по времени старше чем д2/д (ж0)2; нет их и в левой части; следовательно, G»0 не содержит временных производных старше чем д/дх°. Поэтому мы ничего не можем узнать об эволюции во времени гравитационного поля из четырех уравнений
Gti0=-SnGT"0. (7.5.1)
Точнее, эти уравнения надо рассматривать как некоторые связи в начальных данных, т. е. условия, налагаемые на gvv и dg?Jдх° при X0 = - 1.
В качестве «динамических уравнений» остается лишь шесть уравнений Эйнштейна
Gii=-SnGTii. (7.5.2)
Когда мы разрешаем эти уравнения относительно 10 вторых производных d2guv!d {х0)2, мы сталкиваемся с четырехкратной неоднозначностью, которую, естественно, нет надежды обойти, поскольку всегда возможны преобразования координат, оставляющие неизменными guV и OgiiJdx0 при X0 = t, но которые все же изменяют guv в остальном пространстве. Точнее, мы находим, что (7.5.2) определяет шесть величин d2gx:i/d (х0)2, но оставляет неопределенными остальные четыре d2g»°!d (ж0)2. От этой неопределенности можно избавиться, только наложив четыре координатных условия, фиксирующие систему координат. Например, если мы наложим гармоническое координатное условие, введенное в предыдущем параграфе, вторая производная по времени от YS Sii0 может
быть найдена дифференцированием (7.4.6) по времени:
= (7-5-3) 182
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
Тогда десяти уравнений (7.5.2) и (7.5.3) достаточно для нахождения вторых производных по времени от всех компонент guv.
Если начальная задача решается таким образом, то условия (7.5.1) на начальные данные достаточно удовлетворить в один момент времени. Тождество Бианки и условие сохранения энергии и импульса утверждают, что независимо от того, удовлетворяются или нет уравнения поля, должно выполняться соотношение
(Gixv + 8nG7^v); v = 0.
Рассмотрим это выражение при х° = t. Накладывая на начальные данные дополнительные условия (7.5.1) и находя вторые производные из уравнения (7.5.2), убеждаемся в том, что в последнем выражении величина в скобках равна пулю везде при х° = t, откуда следует
~ (Gli0 + SnGTil0) = О при ж0 = t,
а потому поля, вычисленные в момент времени X0 = t + dt, будут также автоматически удовлетворять условиям (7.5.1). Таким образом, этот метод решения проблемы с начальными условиями таков, что если мы знаем начальную метрику X0 = t, удовлетворяющую условиям (7.5.1), то он может быть запрограммирован для вычислительной машины.
I 6. Энергия, импульс и угловой момент гравитационного поля
Физический смысл уравнений Эйнштейна можно выявить, записав их в полностью эквивалентной, хотя и не в ковариантной, форме, которая указывает на их связь с волновыми уравнениями физики элементарных частиц. Выберем систему координат, почти совпадающую с системой Минковского в том смысле, что на больших расстояниях от изучаемой материальной системы, имеющей конечные размеры, метрика ^liv будет приближаться к метрике Минковского Tijtv. (К этому классу относятся гармонические системы координат и некоторые другие.) В этом случае пишем
