Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
* = <*> + °(-5-)=Т + °Ш- С7"3'15)
Подставляя этот результат в (7.3.14), получаем
Я,«-у W*= -8я6Улпи, + 0(-1).
Таким образом, теория Бранса и Дикке переходит в теорию Эйнштейна в пределе со —»- оо.
Надо подчеркнуть, что роль скалярного поля в теории Бранса и Дикке сводится к изменению вида уравнений поля гравитации. Если ^v известно, то воздействие гравитации на произвольные физические системы определяется точно таким же образом, как и в гл. 3, 4 и 5.
В этой книге почти везде будем предполагать, что никакие скалярные поля <р не дают вкладов в дальнодействующие силы. Однако время от времени мы будем возвращаться к теории Бранса и Дикке, чтобы посмотреть, какие изменения она вносит в теорию тяготения.
§ 4. Координатные условия
Симметричный тензор Giiv имеет 10 независимых компонент, а потому эйнштейновские уравнения поля (7.1.13) состоят из 10 алгебраически независимых уравнений. Неизвестный метрический тензор также имеет 10 алгебраически независимых компонент, и на первый взгляд может показаться, что уравнений
12—0788 178
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
Эйнштейна (с надлежащими граничными условиями) достаточно, чтобы определить единственным образом. Это, однако, не так Хотя 10 компонент Gliv независимы алгебраически, они связаны еще с четырьмя дифференциальными соотношениями -— тождествами Бианки [см. (6.8.3)]:
G11v- ц = 0.
Таким образом, существует не 10 функционально независимых уравнений, а только 10 — 4 = 6 уравнений, оставляющих четыре независимые степени свободы в десяти неизвестных компонентах gMv Эти степени свободы соответствуют тому, что если — решение уравнений Эйнштейна, то решением его будет также и gjiv, которое получается из guv с помощью произвольного преобразования координат Xх'. Такое преобразование координат вводит четыре произвольные функции x'v (X), соответствующие как раз четырем степеням свободы в решении уравнений (7.1.13). Недостаточность эйнштейновских уравнений для определения единственным образом аналогична недостаточности уравнений Максвелла для однозначного определения вектор-потенциала A11. Записанные с помощью вектор-потенциала уравнения Максвелла выглядят так:
[см. уравнения (2.7.6) и (2.7.11)]. Имеются четыре уравнения для четырех неизвестных, но они не задают Aa единственным образом, поскольку левые части этих уравнений связаны дифференциальным тождеством, аналогичным тождествам Бианки:
дха І дхадх?' і
Таким образом, число функционально независимых уравнений в действительности равно лишь 4 — 1=3, и поэтому остается одна степень свободы в решении для четырех компонент Aa. Эта степень свободы, конечно, соответствует градиентной инвариантности; зная какое-либо решение Aa, мы можем найти другое решение Aa = Aa + дф/дха, где ф — произвольная функция.
Эта неопределенность в решениях уравнений Максвелла и Эйнштейна может быть устранена одним и тем же способом. Для уравнений Максвелла вопрос решается путем выбора конкретной калибровки. Например, зная какое-нибудь решение Aa, мы всегда можем построить решение Aa, такое, что
даА'а = 0, (7.4.2) § 4. Координатные условия
179
положив
дф
А.Г1 = А
at"
где Ф определяется из уравнения
дАа
? 2Ф =
дха
Говорят, что такое решение задано в лоренцевой калибровке. Условие (7.4.2) вместе с тремя независимыми уравнениями (7.4.1) создает систему из четырех уравнений, которые при надлежащих граничных условиях, вообще говоря, определяют четыре компоненты Aa однозначно. Таким же способом, а именно выбрав некоторую конкретную систему координат, можно исключить неоднозначность в метрическом тензоре. Выбор системы может выражаться в- виде четырех координатных условий, которые, дополняя шесть независимых уравнений Эйнштейна, приводят к однозначному решению. Особенно удобны условия гармоничности координат
Чтобы увидеть, что выбор координатной системы в соответствии с этими условиями возможен всегда, вспомним трансформационные уравнения для аффинной связности
VA дх'% дхх дхс ^0 дхр дх3 " "
tVA _ UX OX OX -рр
1 Uv — г тт. TTT 1 та
" ^v дхр дх H- дх'у ™ dx'v дх'»- дхрдхс '
[См. уравнение (4.5.8).] Свертывая это уравнение с g^, находим P^ = if! гр —gpg дЧ% . П 4 41
дхр S дхрдха У •¦ J
Следовательно, если Гр не исчезает, мы можем всегда ввести новую систему координат, решив следующие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных:
PO д*х% = дх'х ГР
8 дхрдх° дхр
Тогда уравнение (7.4.4) приводит к Г4 =Ob системе х'.
Четыре условия (7.4.3) не являются, конечно, общековариант-ными, так как цель их — удалить неоднозначность, возникающую в метрическом тензоре из-за ковариантности уравнений Эйнштейна. Хотя мы не можем записать эти условия в виде ковариантных уравнений, мы можем придать им более изящную фор-
12* 180
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
му, выражая аффинную связность через метрический тензор:
Fx = I^m-V4 Г ds^ і gg*v 5g|XV I
2 8 8 I <9^ to" J '
Напомним, что
dgm ^
Jm__ __ _ _
8 Oxv ~ g^ dxv '
uv i/2J_ 1/2
