Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Теория Бранса и Дикке
Известно, что дальподействующие силы передаются гравитационным полем ^rltv и электромагнитным потенциалом A11. Естественно тогда предположить, что могут существовать и дальнодейст-вующие силы, порождаемые скалярными полями. Соответствующие теории предлагались до создания общей теории относительности. В этом параграфе описывается наиболее поздняя и, возможно, наиболее обоснованная теория, в которой скалярное поле также отвечает за гравитацию. Это теория, созданная Брансом и Дикке [21. Эквивалентная формулировка дана в статье [3].
Отправным пунктом теории Бранса и Дикке является принцип Маха, утверждающий, что явление инерции должно возникать как следствие ускорений относительно общего распределения массы во Вселенной (см. § 3 гл. 1). Таким образом, инерциальные массы различных элементарных частиц не должны быть фундаментальными постоянными, но скорее должны определяться взаимодействием частиц с некоторым космологическим полем. Кроме того, абсолютный масштаб массы элементарных частиц (в противоположность их отношениям, которые, вероятно, никак не связаны с космологическим полем) может быть определен только путем измерения гравитационных ускорений Gm/r2. В другой формулировке это означает то, что гравитационная постоянная G должна быть связана со средним значением скалярного поля ф, которое в свою очередь связано с плотностью масс во Вселенной.
Простейшим общековариантным полевым уравнением такого скалярного поля было бы
П2Ф = ^nlThil, (7.3.1) § 3. Теория Бранса и Дикке
175
где \32ф = Ф; р; р представляет собой инвариантный даламбертиан, % — постоянная взаимодействия, a Tm^xv — тензор энергии-импульса материи, распределенной во Вселенной (всей, кроме поля гравитации и </>-поля). Можно грубо оценить среднее значение ф, вычисляя центральный потенциал газообразной сферы с космологической плотностью массы р ~ 10~29 г -см-3 и имеющей радиус, равный наблюдаемому радиусу Вселенной R <~ IO28 см (см. гл. 14). Это приводит к среднему значению
(ф) ~ XpR2 -XX IO27 г 'Cm"1. (7.3.2)
Заметим, что число IO27 г -см-1 разумно согласуется с постоянной MG = 1,35 X IO28 г-см"1 (в единицах, в которых с = 1); следовательно, можно нормировать ф так, что
и тогда (7.3.2) показывает, что X — безразмерная величина порядка единицы. Подобные рассмотрения позволили Брансу и Дикке предположить, что истинные уравнения поля гравитации получаются заменой G на Мф и включением тензора энергии-импульса <?-поля T!Jv в источник гравитационного поля:
= --IlIZVav-J-TVw]. (7.3.4)
Никто, однако, не собирается отказываться от таких достижений принципа эквивалентности, как равенство гравитационной и инертной масс и замедление времени в поле тяготения. Поэтому Бране и Дикке требуют, чтобы только а не ф входило в уравнения движения частиц и фотонов. Уравнения, описывающие обмен энергией между материей и гравитационным полем, остаются, следовательно, теми же, что и в теории Эйнштейна:
т Ц __„р. rp р рр гр н _,7 о
1m v, у — —--г 1 hp^ af v j- m-vi mp — и- v
Далее, тождество Бианки говорит о том, что дивергенция от левой части уравнения (7.3.4) равна нулю, а потому, умножив (7.3.4) на ф и взяв ковариантную дивергенцию от полученного, приходим к уравнению
(Rixv--^vR) -BnTfw (7-3-б)
Оказывается, что этого требования достаточно для определения Тф'у. Симметричный тензор самого общего вида, который можно построить из членов, каждый из которых содержит либо две первые производные от поля, либо одну вторую производную от поля, кроме того, зависит еще от самого поля и записывается 176
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
следующим образом:
ТФ\ = А(ф)ф^ф-,,+ В(ф) Ь\фірф.? +
+ С(ф)ф-^, + с,\0(ф)П2ф. (7.3.7) Непосредственные вычисления дают ГД; „ = IA' (Ф) + В' (ф)] ф?ф. vf. „ +
+ [А (ф) + IB (ф) + С' (Ф)} фЛ рф; „ +
+ В(ф)(02ф)^ + С(ф)02(ф;,)- (7.3.8)
(Штрих здесь означает производную по ф.) Первый член слева в (7.3.6) определяется выражением (6.5.2), а именно
ф. о= ф, V ф\ ц = CT); v - D2 (Ф; v). (7-3.9) Взяв теперь шпур от уравнения (7.3.4) и используя (7.3.1), находим
R = т [ш d^ +W + ЬВ (Ф)) Ф, »ф. ,+(С (ф)+W (ф)) 02Ф1,
а потому левая часть уравнения (7.3.6) имеет вид
-^<?;»[(і^02 + С(Ф) + 4П(Ф))02Ф +
+ (А(ф) + 4В(ф))ф;\ІІ]. (7.3.10)
Сравнивая коэффициенты при (D2^)lv, D2(^jv), ф;„П2ф, ф!*ф\цф',\ и ф-^-^ф- J1 в выражениях (7.3.8) и (7.3.10), находим, что уравнение (7.3.6) требует, чтобы
1 = —8я?> (</>), — 1=-8яС(<?),
+ й'(ф))-^г(А(ф) + 4В(ф))=-8п(А'(ф) + В'(ф)),
0 = А(у) + 2В(ф) + С'(ф). Единственное решение этой системы имезт вид
8Лф ' 16Яф'
С(ф) = ^, D(^)=-J-, (7.3.11) § 4. Координатные условия
ill
где со—удобная безразмерная постоянная, определяемая следующим образом:
?0 = 1 --I (7.3.12)
или
3+2(0'
Уравнения поля (7.3.1) и (7.3.4) в теории Бранса и Дикке можно, следовательно, записать так:
R-JL R — —Г _
^Jiv 2 Sliv л — ф I Afnv
--Jr (ф;nf. V-yflwf p<bP--^-(<?;n;v-?nvD24>). (7.3.14)
Наша предыдущая оценка показала, что X порядка единицы; поэтому мы можем ожидать, что со того же порядка. Если со много больше единицы, то (7.3.13) превращается в уравнение Ц2ф = = 0 (1/ш), откуда вытекает, что
