Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
В вакууме Tiiv исчезает, а потому из (7.1.15) следует, что уравнения поля Эйнштейна в пустом пространстве — это просто
Aliv = O. (7.1.16)
В пространстве-времени двух или трех измерений это означало бы равенство нулю полного тензора кривизны Rxiivy. и соответственно отсутствие гравитационного поля (см. § 4 гл. 6). Только при четырех и выше измерениях в пустом пространстве могут существовать истинные гравитационные поля.
Мы могли бы по нашему желанию ослабить условие б) и допустить в Gliv члены, содержащие менее двух производных от метрики. Возможность использовать первые производные не вводит никаких новых членов в Giiv (см. § 1 гл. 6), но если мы используем сам метрический тензор, то может появиться одно новое слагаемое, равное guv, умноженному на постоянную X. Уравнения поля читались бы тогда так:
Rpv —2 Sv-vP1 — "KS\i.v — — SnGTiiv.
Член Xgiiv был впервые написан Эйнштейном [1] для преодоления трудностей в космологии (которые потом исчезли); по этой причине X называют космологической постоянной. Этот член удовлетворяет условиям а), в), г), но не удовлетворяет условию д), а потому, чтобы не портить ньютоновскую теорию тяготения, X должно быть очень мало. Мы везде в этой книге, исключая гл. 16, будем считать, что A- = O. 172
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
§ 2. Другой вывод *
При выводе уравнений Эйнштейна, приведенном в предыдущем параграфе, очень важным оказалось предположение о том, что левая сторона Guv — тензор, зависящий лишь от метрики и ее первых и вторых производных. Можно было бы рассмотреть более общий тензор, который включал бы элементы, не связанные с метрическим тензором и его производными, такой, как
/ (X) \
Idx ЪХУ \ (7.2.1)
V 3? (х) dxv дх1 dxP I X=X '
где Zx (х) — это координаты, локально-инерциальные в точке X. [Ссылки на точные определения (3.3.2) и (3.3.3) метрики и аффинной связности показывают, что (7.2.1) не связано с их производными.] Такой тензор можно было бы построить так:
Г 5^w ^ /7 9 94
где — наиболее общая возможная линейная комбинация вторых производных от метрического тензора в системе координат ^x, удовлетворяющей условиям лоренц-ковариантности и симметрии, т. е.
Г і— 2 I / dlgV , dW \ .
02 „У
+ + + DVy (7-2.3)
где O1, а2, а3, Ьг, Ь2 — пять произвольных безразмерных констант. [Мы опустили символ X. Здесь все индексы поднимаются и опускаются с помощью тензоров Минковского TjctP и т]ар, a D2 есть даламбертиан O2 = TjotP (д/дІа) (д/дПри совершенно произвольных значениях введенных выше пяти констант ах, а2, а3, bx, Ъ% тензор Guv зависел бы от посторонних элементов, таких, как (7.2.1). Однако замечательно то, что, используя условие сохранения энергии-импульса и учитывая справедливость ньютоновской теории в пределе слабых стационарных полей, создаваемых нерелятивистским веществом, можно найти такие строгие ограничения на константы а1; . . ., Ь2, что члены, включающие (7.2.1), выпадают и мы получаем теорию Эйнштейна.
В случае слабых полей требование сохранения энергии-импульса приводит к обычному закону сохранения дТа^д\а = 0,
*) Этот параграф лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опушен при первом чтении. § 2. Другой вывод
173
и, следовательно, предполагаемые уравнения поля — 8я6Тар
накладывают условие
О = + D2-^sVf
0S
Поэтому а! + а2, а2 + а3 и 62 должны равняться нулю, что дает
. d^go1 d2g 7 )
Ga^ai { ?^--^--ф + ^-^) +
+4w-11apDVvb (7-2-4)
Чтобы определить Ci1 и перейдем к ньютоновскому пределу. Для статического поля (7.2.4) дает
Gii + G00 = ajV2 (gu + Soo) - ^iV2 (gn - Soo)-
{По повторяющимся латинским индексам производится суммирование по значениям 1, 2, 3.) Для нерелятивистской системы, состоящей из вещества, тензор | Tц | много меньше чем I T00 I, так что мы получаем уравнение поля в виде
К + b,) V2Soo + К - ад V2Sn = -SnGT00. (7.2.5)
Мы хотим, чтобы уравнения поля в этом пределе приводили к закону Ньютона:
V2Soo = -SnGT00,
но (7.2.5) — единственное из уравнений поля, включающее только Soo и/или SiM так чт0 мы должны требовать, чтобы Ci1 = = = 1/2. Для слабых полей левая часть уравнения тогда имеет вид
f ___!/[—12„ gP___! ° V 1 I
^ a? - 2 ^U ga? ^a ^v ^p ^v -, ^a ^p / 1"
+ ^{¦^-?V,}- С7.2.6,
Но выражение (6.6.2) показывает, что в случае слабого поля тензор Риччи
R -1Z^2 Pg0? d*g\ Х
ПаІІ ~ 2 X U 8а* eS« ogV ' eg« J ' 174
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
а потому (7.2.5) дает следующее уравнение поля:
GaH = Rafi-LriatiR= -SnGTrt. (7.2.7)
Тогда для произвольного поля принцип эквивалентности немедленно определяет уравнения Эйнштейна в виде
Rw-^gvvR=-SnGTiiv, (7.2.8)
поскольку (7.2.8) общековариантно и сводится к (7.2.6) в локаль-но-инерциальных системах координат. Таким образом, если нам потребуется более общее уравнение, чем эйнштейновское, которое в пределе слабых полей сводится к уравнению второго порядка, имеющему левую часть в виде (7.2.4), мы должны допустить появление новых элементов, таких, как (7.2.1), и должны отказаться от возможности получения ньютоновской теории в предельном случае.
