Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Ga? = -8л GTa,, (7.1.4)
где Gafi есть линейная комбинация метрики и ее первых и вторых производных. Тогда из принципа эквивалентности следует, что уравнения, которым подчиняются гравитационные поля произвольной напряженности, должны иметь вид
Gixv = -8 KGTixv, (7.1.5)
где Glxv — это тензор, сводящийся к Gafi в случае слабых полей.
Вообще говоря, из метрического тензора и его производных можно образовать много тензоров Gixv, которые сводятся к заданному Gafi в пределе слабых полей. Представим себе, что Gixv может разлагаться в сумму произведений производных от метрики, и классифицируем слагаемые по полному числу N производных от компонент метрики. (Например, слагаемое с N = 3 может быть § 1. Получение уравнений поля
169
линейным по третьим производным от метрики, или по произведению первой производной на вторую производную, или по произведению первых трех производных.)
В целом Giiv должен иметь размерность второй производной, так что каждое слагаемое с N Ф 2 оказывается умноженным на постоянную, имеющую размерность длины в степени N — 2. Такие члены будут пренебрежимо малы для гравитационных полей достаточно больших или малых пространственно-временных масштабов, если N > 2 или N < 2 соответственно. Для того чтобы избавиться от неоднозначности в выборе Gliv, предположим, что уравнения гравитационного поля масштабно-однородны, т. е. допустимы только члены с N = 2.
Рассмотрим левую часть уравнения поля (7.1.5). Мы знаем о ней, что
а) по определению Giiv является тензором;
б) по предположению Gliv состоит только из членов с N = 2, где N — полное число производных от компонент метрики, т. е. Gliv содержит только члены, линейные по второй производной или квадратичные по первым производным от метрики;
в) поскольку Tliv симметричен, то симметричен и тензор Gmv;
г) поскольку Tiiv сохраняется (в смысле ковариантного дифференцирования), то сохраняется и Gliv:
0\» = 0; (7.1.6)
д) в случае слабого стационарного поля, создаваемого нерелятивистски движущимся веществом, 00-компонента (7.1.5) должна сводиться к (7.1.3); таким образом, в этом пределе имеем
G00^Vzg0O- (7.1.7)
Этих условий как раз достаточно для нахождения Giiv.
В § 2 гл. 6 мы видели, что наиболее общий путь построения поля, удовлетворяющего условиям а) и б),— это свертывание тензора кривизны Rxiivyi. Свойство антисимметрии Rxiiw, обсужденное в § 6 гл. 6, показывает, что существуют только два тензора, которые можно образовать путем свертывания .Rj^vjo эт0 тензор Риччи Rliv = RxilXK и скалярная кривизна R = .R1V Следовательно, условия а) и б) требуют, чтобы Giiv имел вид
Giiv = ClRiiv+ C2gitvR, (7.1.8)
где C1 и C2 — константы. Эта форма автоматически симметрична [см. свойство (6.6.7)], так что условие в) не дает нам ничего нового. Используя тождества Бианки (6.8.3), получаем ковариантную дивергенцию Giiv в виде
Cav; ц = ("jT+ G2^ -R; VJ 170
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
а потому условие г) допускает две возможности: либо C2 = —CJ2, либо R- V равно нулю повсюду. Вторую возможность можно исключить, поскольку (7.1.8) и (7.1.5) приводят к соотношению
CV = (C^C2)Ji = -8 nGT\.
Поэтому, если Ri V = dR/dxv равно нулю, то равно нулю и dTv/dxv, что явно не так в случае неоднородного нерелятивистского вещества. Тогда приходим к заключению, что C2 = —CJ2, и переписываем (7.1.8) следующим образом:
Gvv = Cl (Rvv-LgiivRy (7.1.9)
Используем, наконец, условие д), чтобы определить постоянную C1. Для нерелятивистской системы всегда выполняется неравенство | Tij | | T00 |, следовательно, мы рассматриваем здесь случай | Ci;- | | C00 | или, используя (7.1.9),
1
Rij^YgnR-
Кроме того, мы имеем дело со слабыми полями, так что ga$ a; ^ap* Поэтому скалярная кривизна определяется так:
R я» Rhk — R00 « Y R — R00,
или
R^2R00. (7.1.10)
Подставляя (7.1.10) и (7.1.1) в (7.1.9), находим
G00 ^ 2C1R00. (7.1.11)
Чтобы вычислить R00 для слабого поля, можно использовать линейную часть R%vvx, взяв ее из выражения (6.6.2):
я = 1 Г d'gAv d2ggy d*gXx
^vk 2 L дх* дх\1 дхк дхХ dxv дхч T- дх%, дх% J •
Если иоле статическое, все временные производные исчезают и необходимые нам компоненты равны
R ~ О R ~ 1 d2goo п0000 ~ W, K10J0 ~ Y { dxj •
Следовательно, (7.1.11) можно переписать так:
G00 « 2C1 (Rioio — Rqooo) ~ C^2g00.
Сравнивая это выражение с (7.1.7), находим, что условие д) выполняется тогда и только тогда, когда C1 = 1. § 1. Получение уравнений поля
171
Положив C1 = 1 в (7.1.9), завершаем вычисление Gliv:
Gvuv = Rviv—2 Sv-vR- (7.1.12)
Привлекая теперь (7.1.5), получаем уравнения поля Эйнштейна Rllv-LgiivR=-SnGTiiv. (7.1.13)
Иногда полезна альтернативная форма. Свертка (7.1.13) с g*xv приводит к соотношению
R - 2R = - SnGTliv.
или
R = SnGT11il, (7.1.14)
которое при подстановке в (7.1.13) дает
Riiv= -8яС( Tiiv-LgiivTx^. (7.1.15)
Естественно, можно возвратиться от (7.1.15) к (7.1.14) и (7.1.13), так что (7.1.13) и (7.1.15) следует рассматривать как полностью эквивалентные формы уравнения поля Эйнштейна.
