Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 13, посвященной симметричным пространствам, мы увидим, что двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны нельзя представить как поверхность в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Это объясняет, почему потребовались два тысячелетия, чтобы найти его. По этой же причине становятся неверными альтернативные почти очевидные версии пятого постулата Евклида, выдвигавшиеся Проклом, Валли-сом и Лежандром, так как теперь через любую заданную точку можно провести бесконечное множество прямых, параллельных
') У Гаусса не хватило смелости опубликовать свои заметки о пятом постулате. Это было сделано великим русским математиком Николаем Лобачевским, который и получил весь запас злой критики не понявших его математиков. Роль Яноши Бойяи столь же велика, однако он не довел развитие аппарата неевклидовой геометрии до той полноты и совершенства, какую последний получил в работах Лобачевского.— Прим. ред. § 1. История создания неевклидовой геометрии
17
данной прямой, никакие фигуры различного размера не могут быть подобными и, наконец, сумма углов любого треугольника меньше 180°. Однако все еще оставалась открытой возможность того, что пятый постулат Евклида вытекает из других постулатов, так как, вообще говоря, не было очевидным, что геометрия Гаусса, Бойяи и Лобачевского не содержит логических противоречий. Обычный способ «доказательства» того, что система математических постулатов самосогласована, сводится к конструированию модели, удовлетворяющей этим же постулатам, но сделано это должно быть из объектов и понятий, взятых из другой системы, непротиворечивость которой (на данный момент) не вызывает сомнений. Как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии в качестве «модели» служит теория действительных чисел. Если декартовы координаты точки на плоскости отождествить с парой действительных чисел [X1, х2), а расстояние между двумя точками (X1, Xi) и (X1, X2) записать в виде [(X1 — X1)2 + + (х2 — X2)2]172, то все евклидовы постулаты можно доказать как теоремы о действительных числах. В 1870 г. аналитическая геометрия такого типа [5] была построена Феликсом Клейном (1849—1925) для пространства Гаусса, Бойяи, Лобачевского Точка в такой геометрии задается парой действительных чисел X1 и х2, удовлетворяющих условию
xf+x!<l, (1.1.1)
а расстояние d (х, X) между двумя точками равно
ChfiMl =-I-^Xl-XiX2--(1Л2)
LaJ (1 —ж|)1/2(1 —Xf-Xl)l/z '
где а — фундаментальная длина, устанавливающая масштаб в данной геометрии. Отметим, что такое пространство является бесконечным, так как d (х, X) оо при (X^ + Xij) 1. При таком определении «точки» и «расстояния» модель, очевидно, удовлетворяет всем постулатам Евклида, кроме пятого, и действительно подчиняется геометрии Гаусса, Бойяи и Лобачевского.
Итак, прошли два тысячелетия, прежде чем была установлена логическая независимость пятого постулата Евклида.
С этого и началось развитие неевклидовой геометрии. Мы видели, что для открытия геометрии Гаусса, Бойяи, Лобачевского необходимо было оставить идею о том, что кривую поверхность можно изучить, только вложив ее в обычное трехмерное пространство. Но как же тогда описывать и классифицировать кривые пространства? Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно вернуться к 1827 г., когда Гаусс опубликовал свои «Общие изыскания о кривых поверхностях». Гаусс впервые устанавливает
') Модель Евклида для геометрии Гаусса - Бойяи — Лобачевского была дана в книге [6].
См. сб. «Об. основаниях геометрии») 2 изд. Казань 1895. —Ред.
2-0788 18
Гл. 1. Историческое введение
различие между внутренними свойствами поверхности, т. е. геометрией, которую могли бы исследовать маленькие плоские жуки, живущие на этой поверхности, и внешними ее свойствами, проявляющимися при вложении этой поверхности в пространство большего числа измерений. Он осознает, что внутренние свойства поверхностей «в высшей степени заслуживают самого пристального изучения геометрами».
Гаусс понял также, что существенным внутренним свойством любой поверхности является ее метрическая функция d (X, Х)г задающая расстояние между точками х и X по кратчайшему пути между ними на рассматриваемой поверхности. Например, конус или цилиндр имеют те же локальные внутренние свойства, что и плоскость, потому что последнюю можно свернуть в конус или цилиндр без растяжений и разрезов, т. е. не искажая метрических соотношений. Все картографы знают, что сферу нельзя развернуть в плоскость без искажений, т. е. локальные внутренние свойства сферы и плоскости различны.
Существует простой пример, к которому обращались Эйнштейн, Уилер и др., чтобы проиллюстрировать, как исследование метрики поверхности позволяет изучить ее внутренние свойства (фиг. 1.1). Рассмотрим JV точек на плоскости. Одну из них примем за начало координат. Ось х проведем из начала координат через другую заданную точку, тогда расстояния между различными точками будут задаваться с помощью (2JV — 3) координат, а именно я-координаты второй точки и х- и !/-координат остальных (JV — 2) точек. Существует JV (JV — 1)/2 различных расстояний между JV-точками, и для достаточно больших JV их можно связать M различными алгебраическими соотношениями, где
