Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Геодезическая девиация*
Введение тензора кривизны мотивировалось необходимостью найти подходящие уравнения поля тяготения. Однако тензор кривизны полезен также для описания воздействия гравитации на физические системы. 166
Гл. в. Кривизна
Рассмотрим, например, две падающие рядом частицы с траекториями х» (т) и XV (т) + Sa:11 (т). Уравнения движения для них имеют вид
Л йЧ» гй dxv dxX 0 = 6^] + Tv\ (X + os) [XV + ox-] -L [a* + бдА].
Если вычесть одно уравнение из другого и оставить только члены первого порядка по ба:^, получим
n dz6х» . 0? dxv dxx dxv d6xX
или, выразив это через ковариантные производные вдоль кривой х» (т) (см. § 9 гл. 4), придадим этому уравнению вид
= o^-g^. (6.10.1)
Оказывается, что, хотя свободно падающая частица находится в состоянии покоя в системе координат, падающей вместе с частицами, две свободно падающие рядом частицы будут находиться в относительном движении, обнаруживающем наличие гравитационного поля с точки зрения наблюдателя, падающего вместе с ними. Это, конечно, не является нарушением принципа эквивалентности, поскольку эффект, связанный с правой частью уравнения (6.10.1), становится настолько малым, что им можно пренебречь, когда удаление частиц много меньше, чем характерные размеры поля.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Eisenhart L. P., Riemannian Geometry, Princeton University Press, 1926 (см.
перевод: Эйзенхарт Л. TI., Риманова геометрия, ИЛ, 1948). Schouten J. A., Ricci-Calculus, Springer-Verlag, 1954 (см. перевод: Cxoy-тен Я. А., Тензорный анализ для физиков, «Наука», 1965). См. также библиографию к гл. 3.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Eisenhart L. P., Continuous Groups of Transformations, Dover Publications, 1961, p. 1 (см. перевод: Эйзенхарт Л. П., Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1947).
2. Петров А. 3., Учен. зап. Казанск. Гос. унив., 114, № 8, 55 (1954); Пространства Эйнштейна, Физматгиз, 1961.
3. Weyl H., Mat. Zs., 2, 384 (1918).
4- Eisenhart L. P., Hiemannian Geometry, Princeton University Press, 1926, Sec. 2B (см. перевод: Эйзенхарт Л. /7., Риманова геометрия, ИЛ, 1948). В общую теорию относительности Вы поверите, когда изучите ее. Поэтому я ни единым словом не буду ее защищать перед Вами.
А. Эйнштейн, из письма к А. Зоммерфелъду, 8 февраля 1916 г.
Глава 7
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА
Главы с 3 по 5 содержали изложение первой половины теории гравитации: математическое описание гравитационных полей, которое определяет их воздействие на произвольные физические системы. В этой главе мы начнем изложение второй ее половины, а именно дифференциальных уравнений для самого гравитационного поля.
§ 1. Получение уравнений поля
Уравнения поля тяготения неизбежно более сложны, чем уравнения электродинамики. Уравнения Максвелла линейны, поскольку само электромагнитное поле не переносит заряд, в то время как гравитационное поле переносит энергию и импульс (см. § 3 гл. 5) и должно, следовательно, давать вклад в свой собственный источник. Поэтому уравнения гравитационного поля должны быть нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в которых нелинейность отражает воздействие гравитации самой на себя.
Разбирая эти нелинейные эффекты, мы снова будем руководствоваться принципом эквивалентности. В любой точке X в произвольно сильном гравитационном поле мы можем задать локально-инерциальную систему координат, такую, что
Следовательно, в точке х, находящейся вблизи X. метрический тензор ga?J может отличаться от т]аР только членами, квадратичными по X — X. В этой системе координат гравитационное поле является слабым вблизи точки X, и мы можем духмать, что поле описывается линейными, дифференциальными уравнениями в частных производных. Если же мы знаем эти уравнения для слабых полей, мы можем найти уравнения ноля в общем случае преобразованием координат, обратным тому, которое делает это поле
gaf, (X) = TlaP,
(7.1.1)
(7.1.2) 168
Гл. 7. Уравнения поля Эйнштейна
слабым. К сожалению, из опыта мы очень мало знаем об уравнениях слабых полей. Причину этого не надо искать очень глубоко; просто гравитационное излучение так слабо испускается и поглощается веществом, что оно до сих пор не было зарегистрировано. Но, найдя оправдание для нашей необразованности, мы все же не сможем следовать прямым путем, как в предыдущих главах, а должны в какой-то мере пытаться угадать ответ.
Прежде всего напомним, что в случае слабого статического поля, создаваемого нерелятивистским телом с плотностью массы р, 00-компонента метрического тензора приближенно равна
Ян,« -(1 + 2ф).
[См. выражение (3.4.5).] Здесь ф — ньютоновский потенциал, задаваемый уравнением Пуассрна
V2<f> ~4nGp,
где G — постоянная Ньютона, равная 6,670-10~8 в единицах СГС. Плотность энергии T00 для движущегося с нерелятивистской скоростью вещества приближенно равна плотности его массы:
Tоо «Р-
Объединяя эти соотношения, получаем
V2goo = — QnGT00. (7.1.3)
Это уравнение по предположению справедливо только для слабых статических полей, создаваемых нерелятивистским веществом, и в том виде, в каком оно записано, оно даже не лоренц-инвариант-но. Однако (7.1.3) приводит нас к предположению о том, что уравнения слабых полей для распределения энергии и импульса Tafi общего вида имеют форму
