Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
ASli _ іSS11
~ dxv ^x '
а так как направление dxv (x)/dx произвольно, уравнение (6.3.1) принимает вид
-?- = ? (6.3.9)
или
Slijv==O. (6.3.10)
Следовательно, если тензор кривизны исчезает, мы всегда можем построить решения уравнения (6.3.9) для любого заданного значения S11 (X) путем параллельного переноса S11 из X в х. И наоборот, если существует какое-либо ковариантное векторное поле с равными нулю ковариантными производными, то обязательно выполняется правило (6.3.1), а так как поле не может измениться при параллельном переносе вдоль любой замкнутой кривой, из (6.3.7) следует, что во всей области, где Sa удовлетворяет (6.3.10), справедливо соотношение
RailvpSa = 0. (6.3.11)
(К аналогичным выводам можно было бы прийти, используя вместо метода параллельного переноса известные положения теории дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [1]). При этом подходе соотношение (6.3.11) появилось бы как необходимое и достаточное условие того, что уравнение (6.3.9) может быть решено подстановкой степенных рядов по х» — Xli.)
§ 4. Гравитация в криволинеЗных координатах
Предположим, что мы задались метрическим тензором gд„ (х), который не является просто константой. Как узнать, заполнено ли действительно пространство гравитационным полем или ^jiv представляет собой лишь метрику Tiap специальной теории относительности, записанную в криволинейных координатах? Другими словами, можно ли говорить о том, что имеется набор координат Минковского (х), которые удовлетворяют во всем пространстве § 4. Гравитация в криволинейных координатах
155
условию
f-r^A, (6.4.1,
Заметим, что принцип эквивалентности утверждает лишь то, что в каждой точке X можно найти локально-инерциальные координаты, которые удовлетворяют (6.4.1) в бесконечно малой окрестности X. Вопрос же, о котором идет речь, следующий: можно ли отыскать такой набор координат (х), который удовлетворяет соотношению (6.4.1) во всем пространстве? Например, задавая метрические коэффициенты
grr= 1, #06 = Г2, ?фф = Г2 Sin2 0, gtt=— 1, (6.4.2) мы знаем, что имеется набор ?а, удовлетворяющий (6.4.1), именно I1 = г sin 6 cos ф, = г sin 8 sin ф, I3 = г cos 8, |4 = t. (6.4.3)
Однако, как мы могли бы решить вопрос эквивалентно или нет (6.4.2) метрике Минковского Tla?, если бы не были настолько искушены, чтобы заметить, что это просто rjaP, записанное в сферических координатах? Или, другими словами, если мы заменяем grT в (6.4.2) некой произвольной функцией г, то как нам убедиться в том, что мы действительно вводим гравитационное поле, т. е. как убедиться в том, что уравнение (6.4.1) не имеет в этом случае никаких решений?
Ответ дает следующая теорема: необходимыми и достаточными условиями эквивалентности метрики gvv (х) метрике Минковского Tjap [т. е. условиями существования преобразования х -»¦ g, удовлетворяющего (6.4.1)] являются, во-первых, равенство нулю во всем пространстве тензора кривизны, вычисленного с помощью
JlVvK-O1 (6.4.4)
и, во-вторых, условие, что в некоторой точке X матрица (X) имеет три положительных и одно отрицательное собственное значение.
Необходимость этих двух условий очевидна. Предположим, что мы можем найти систему координат (я), удовлетворяющую (6.4.1). В этой системе координат метрикой служит tlap, все компоненты аффинной связности исчезают и, следовательно, тензор Римана i??7e равен нулю. Но равенство нулю тензора — инвариантное утверждение, так что Rvw должен исчезать и в первоначальной системе координат х». В § 6 гл. 3 мы уже отмечали, что «конгруэнция», подобная (6.4.1), требует, чтобы r)a? и g»v имели одинаковое число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений во всем пространстве. 156
Гл. в. Кривизна
Чтобы доказать достаточность условия (6.4.4) для существо вания системы «везде инерциальных» координат Sct (х), удовле творяюших (6.4.1), построим в явном виде (х). Прежде всег« заметим, что в любой точке X можно найти матрицу Ctxil, длі которой справедливо соотношение
TfP = ^v(X) ^W (6.4.5;
Так как (X) — симметричная матрица, можно найти ортогональную матрицу Oail, для которой матрица OgOr диагональна, т. е.
= Ef*,
где
ар j Da, a = ?,
I 0,
[Мы предполагаем, что три собственных значения Da положительны, а одно отрицательно, и можно всегда располагать строки Oatl так, чтобы в них стояли положительные D1, D2 и D3 и отрицательное D0. Тогда, чтобы удовлетворить (6.4.5), необходимо лишь выбрать (Fil = DtilIVDi для і = 1,2, 3 и Ctaii = =D0il /У -D0.) Далее мы определяем [величины JZ/?^ (х) дифференциальным уравнением
дІ>а„ і „
f = W (6.4.6)
dxv
с начальными условиями
Dall = ^ll при X = X. (6.4.7)
В предыдущем параграфе мы показали, что такие уравнения всегда можно решить при том условии, что R ^m исчезает. (Под величинами Dall подразумеваются четыре ковариантных вектора D0il, DilI, D2il и Dsil, а не единый тензор.) Так как OLf1ilIdxv симметрично по р и V, мы можем записать векторы Dall как градиенты скаляров, в качестве которых мы берем локально-инерциальные координаты Iа (х):
