Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, используя метрический тензор, можно строить и другие тензоры из линейных комбинаций Rvjvii. Наиболее замечательными являются свернутые формы: тензор Риччи, равный
^ = (6.2.4)
и скалярная кривизна
R = g»*Rm. (6.2.5)
§ 3. Обход вдоль замкнутого контура с помощью параллельного переноса
Рассмотрим задачу, которая интересна и сама по себе и будет нужна нам для подготовки к следующему параграфу. Зададимся вопросом, вернется ли вектор S11 в свое первоначальное положение после переноса его вдоль замкнутой кривой С, осуществленного по правилам параллельного переноса (см. § 9 гл. 4 и § 1 гл. 5):
dSii і Jrv
= Г Iv^rS,. (6.3.1)
Можно ответить на этот вопрос, используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы Стокса. Рассмотрим кривую С как край некоторой двумерной поверхности А и разобьем А на малые ячейки, ограниченные малыми замкнутыми кривыми Cn. Изменение S11 при параллельном переносе вдоль С может быть записано как сумма изменений .Sjx, когда этот вектор переносится по каждой из этих малых кривых Cn:
ASv = ^sAnSv, (6.3.2)
N
поскольку изменение S11 при обходе по границе любой внутренней ячейки компенсируется изменениями за счет обходов смежных ячеек, остаются только вклады от краев внешних ячеек, которые составляют С. Следовательно, нужно выяснить: изменяется ли S11 при параллельном переносе по малой замкнутой кривой? Если кривая достаточно мала, вблизи некоторой 152
Гл. в. Кривизна
X
точки х=х (т0), лежащей на кривой, можно разложить Tllv (я) следующим образом:
r&v (*) = it (X) + (as - Xp) ^r T^v (X) +..... (6.3.3)
Тогда (6.3.1) в первом порядке по х» — Xli дает
Sli (T) = Sli (T0) + Tkv (X) (xv (T) -Xv) Sx (То) + ..., (6.3.4)
и, подставляя (6.3.3) и (6.3.4) в (6.3.1), получаем уравнение, включающее члены второго порядка, т
Sli (т) « Sll (T0) + j [С (X) + (*р (т) - Xp) Tkv (X) + ... ] X
ч
X [Sx (T0) +Sa (T0) Itp (X) («Р (T)-X0) + ...] LL^L dr. Отбрасывая члены третьего порядка и выше по х — X, имеем
T
S11 (X) « Sli (T0) + T^v (X) Sx (T0) j ^rdx +
то
T
+ {~ С (X) + Itp (X) Tx^ (X)} X Sa (X0) j (XP-Xp) dx.
to
Если x? (т) возвращается к его первоначальному значению X при некотором T = T1, тогда, очевидно, получаем
То
так что при параллельном переносе по малой замкнутой кривой х» (т) изменение Sli второго порядка ASli = Sli (T1) — Sli (т0) =
= { С (X) + r^v (X) Г?> (X)} S0 (T0) § х" dxv, (6.3.5)
где
Tl
л Г dxv
4) xpdxv= \ xP-^-dx. То
Этот интеграл, вообще говоря, не исчезает. Если, например, контур интегрирования представляет собой малый параллелограмм со сторонами Sali и fib**, то интеграл равен
ф хр dxv = 8apobv — 8av8bp. § 3. Обход вдоль замкнутого контура
153
Интегрируя по частям, можно убедиться в том, что это выражение всегда антисимметрично по р и v:
Tl Tl
XP dx" = j ~ (xPxv) dx - j Xv-^- dx = - x" dxp. (6.3.6)
To T0
В коэффициенте при интеграле в (6.3.5), исходя из этого, можно оставить только антисимметричную часть, которая составляет как раз половину тензора кривизны (6.1.5), а потому
ASil = Y B0llvpS0 ji хР dx\ (6.3.7)
Наше заключение состоит в том, что произвольный вектор Sll не будет изменяться, если его переносить параллельно самому себе вдоль произвольной малой замкнутой кривой в окрестности точки X, в том и только в том случае, если Bvvр исчезает в точке X. Мы уже отмечали, что изменение Sll при параллельном переносе вдоль конечной замкнутой кривой С может быть вычислено путем разбиения на малые ячейки площади А, ограниченной С, и затем сложения изменений Sil, которые возникают при параллельных переносах по контурам этих ячеек. Следовательно, если Rvvp исчезает вез. е в А, то произвольный вектор /Sm не будет изменяться при параллельном переносе вдоль С.
Теперь предположим, что Bvvр действительно исчезает. Рассмотрим замкнутую кривую, состоящую из двух сегментов А и В, охватывающих точки Xti и X». Изменение вектора S11 при параллельном переносе из X в X вдоль А должно компенсироваться изменением Sv при параллельном переносе вдоль В из X в х, т. е.
Ax^xSv + Ax^xSp. = 0.
Но изменение Sv при параллельном переносе из х в X вдоль В равно изменению с обратным знаком, происходящему при параллельном переносе из X в X вдоль В:
Ax^xSiI- —A x-rxSv,
и, следовательно,
A^stfSll = Af^Sli. (6.3.8)
Таким образом, мы получим одно и то же значение Sjx при параллельном переносе из X в X независимо от того, по какой из кривых мы двигались. (Например, если два гироскопа находятся на различных пересекающихся орбитах около Земли и имеют одинаковую ориентацию, когда они встречаются в точке Xli. то любое различие в их ориентациях, когда они встретятся потом в точке х», будет мерой некоторой усредненной кривизны, создаваемой гравитационным полем Земли.) 154
Гл. в. Кривизна
Из этого следует, что задавая S11 в X, мы можем определить с помощью параллельного переноса из X в я поле S11 (х) во всей области пространства-времени, где R^vp исчезает. Соотношение (6.3.8) гарантирует, что S11(X), определенное таким образом, будет зависеть только от х, но не от пути из X в X. Производная вдоль любой кривой X (г) от этого поля равняется
