Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
дх'х ( i^hv i^hh , рті рА, рп рА.
Л ох і HV ни I TVH рЛ рT1 рЛ і
д^Гдх* ^ + ^vlHn-luHlvnl-
дх'Р дх"5 дх* ( ЗГ? , ч т
__р T- р'Л. I р'Тп'Л
75 1 Aa1 tip "Г -i A-kii ар
дх'Ч дх
Его можно переписать в виде формулы преобразования
где
„'X дх'х дх» dxv дх* „X .„ . ,,
дА. t71HV _ VM і рп рА рп рА ,п а сх
11 HVtt--х Tj-HV1XTi 1H^1Ir- (.о- § 2. Единственность тензора кривизны
149
Уравнение (6.1.4) утверждает, что Iw есть тензор; его называют тензором кривизны Римана — Кристоффеля.
Существование тензора Riivy. снова поднимает вопрос о том, единственным ли образом определяет принцип общей ковариантности (или принцип эквивалентности) гравитационные эффекты в произвольных физических системах. Зададимся, например, вопросом, может ли оставаться корректным уравнение движения свободно падающей частицы со спином Sil, имеющее вид
и- Л» + 1IwTT dx + 'it^TT dx 5 <0ЛД>*
(где / — неизвестный скаляр) наряду с известным уравнением
n d4x dx» dxv ... , _
Оба уравнения являются общековариантными и оба сводятся в отсутствие гравитации к соответствующему уравнению специальной теории относительности dUa/dx = 0. Как же тогда отличить, какое из них правильное?
Критерий опять тот же — масштаб. Предположим, что наша частица имеет характерный линейный размер d, а гравитационное поле характеризуется пространственно-временным масштабом D. Тензор Римана — Кристоффеля имеет на одну производную от метрики больше, чем аффинная связность, так что отношение третьего члена (6.1.6) ко второму члену пропорционально 1/Z); соображения размерности тогда требуют, чтобы их отношение было, грубо говоря, порядка d/D. Таким образом, исключая специальные случаи, когда тот или иной член аномально велик или мал, можно считать, что последний член в (6.1.6) пренебрежимо мал, если рассматриваемая частица намного меньше, чем характерные размеры гравитационного поля; тогда (6.1.7) является правильным уравнением движения. Конечно, если наша частица не слишком мала в масштабах гравитационного поля (как в случае Луны, движущейся в гравитационном поле Земли), то принцип общей ковариантности и принцип эквивалентности должны применяться к бесконечно малым элементам, из которых состоит частица, но при этом (6.1.6) или (6.1.7) могли бы дать разумное феноменологическое описание движения частицы в целом.
§ 2. Единственность тензора кривизны
Теперь докажем, что R^vv, является единственным тензором, который можно построить из метрического тензора и его первых и вторых производных, и что построенный тензор линеен по вторым производным. 150
Гл. в. Кривизна
Для этой цели оказывается очень удобным привязаться к какой-нибудь точке X и выбрать локально-инерциальную систему координат, в которой аффинная связность T^v в этой точке равна нулю. Кроме того, будем рассматривать только ограниченный класс преобразований координат, оставляющих аффинную связность нулевой. Согласно уравнению (6.1.1), это просто преобразования для которых выполняется условие
Любая величина, изменяющаяся как тензор при произвольных преобразованиях координат, должна преобразовываться как тензор и на ограниченном классе подобных преобразований. Таким образом, это требование оказывается достаточно сильным для наших целей.
Так как афинная связность исчезает в точке X, то все первые производные метрического тензора исчезают в этой точке [см. выражение (3.3.5)] и искомый тензор должен быть линейной комбинацией лишь вторых производных от метрического тензора или, эквивалентно, первых производных аффинной связности. Из уравнения (6.1.3) видно, что, когда Tjlv и Грта равны нулю, производные аффинной связности подчиняются при х = Х правилу преобразования
Какую линейную комбинацию дПдх следует взять, чтобы она вела себя как тензор? Ясно, что она должна быть такой, чтобы исчезал неоднородный член в правиле преобразования. Однако в любой данной точке X неоднородный член есть полностью произвольная функция его индексов р, а, т|, на которую накладывается единственное условие, чтобы она была симметрична по этим индексам. Следовательно, единственный способ составления линейной комбинации дТ/дх, которая будет преобразовываться, подобно тензору, при всех переходах х—>х', удовлетворяющих (6.2.1), это антисимметризация индексов х и v (или, эквивалентно, X и ц), превращающая (6.2.2) при х = X в соотношение
(6.2.1)
дГрс _ дх» dxv дх* дх'х дГ^ дх'Ч ~ дх'р дх'а дх'Ъ дхх дх*
дх» dxv дх* 5 Vх
(6.2.2)
дх'р дх'а дх'ъ дх* дх» дх°
гргХ
1 peril
дх» dxv дх* дх'х т\ дх'р дх>° дх'Ъ дх'Ь
где в точке X = X имеем
(6.2.3) § 3. Обход вдоль замкнутого контура
151
Таким образом, искомый тензор должен равняться тензору T^lw задаваемому выражением (6.2.3), когда Г исчезает. Однако, когда Г = 0, тензор Римана — Кристоффеля удовлетворяет
\ "К
(6.2.3), так что в локально-инерциальной системе Tvw = Rvvk-Но это — равенство между тензорами, а потому, если оно справедливо в одном классе систем координат, оно справедливо во всех системах координат. Отсюда следует, что единственный тензор T искомого вида есть как раз
