Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 52

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 254 >> Следующая


где Ua есть четырехмерная скорость жидкости, a U0 = (1 — \2)~1/2, U = v?/°. Контравариантный тензор, который сводится к (5.4.1) в отсутствие гравитации, записывается в виде

Tllv = pgv» + (р)+ р) U11Uv, (5.4.2)

где U» есть локальное значение dx»/dx для элемента жидкости в сопутствующей системе отсчета. Отметим, что р и р всегда определяются как плотность давления и энергии, измеряемые наблюдателем в локально-инерциальной системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью в момент проведения измерения, и, следовательно, они являются скалярами. Условия сохранения тензора энергии-импульса приводят к гидродинамическим уравнениям:

t^ H^ + {Р + Р) u^ +

+ Tva, (р + р) UvUk = 0. (5.4.3)

Последний членздесь представляет собойгравитационную силу, действующую на систему. Заметим также, что, поскольку t}agUaU& = = —Ib отсутствие гравитации, мы должны и при наличии гравитации писать

BlivU11Uv=-1. (5.4.4)

В качестве примера рассмотрим случай, когда жидкость находится в состоянии гидростатического равновесия. Поскольку жидкость не движется, (5.4.4) приводит к выражениям

U0 = ( — goo)-1/2 Ux = O для

Кроме того, все производные по времени от g?v, р, или р исчезают. В частности, имеем

1^=-V-Sl

и

Умножая (5.4.3) на gполучаем

—Hk""{рр) ^ln('" (5А5)

10—0788 146 Гл. 5. Эффекты гравитации

Это условие тривиально для А, = 0, тогда как для пространствен-ноподобных значений % (5.4.5) есть не что иное, как обычное нерелятивистское условие гидростатического равновесия, с той лишь разницей, что вместо плотности массы появляется р + р, а вместо гравитационного потенциала появляется (—g0o)1/2- Это уравнение решается, если давление р задано как функция р. Решение имеет вид

dp (P)

— In У — g00 -f- const. (5.4.6>

J />(Р)+Р

Например, если зависимость р (р) степенная,

P (P) ~ Pn, (5.4.7)

то (5.4.6) для Ифі выглядит так:

-^-(-гооУ1-2™, (5.4.8)

а для N = 1

P~(-Soo)-(P+P)/2P. (5.4.9)

Это, между прочим, показывает, что при р = р/3 гравитация никогда не может поддерживать равновесие в крайне релятивистской жидкости, находящейся в конечном объеме, поскольку в этом случае (5.4.9) имеет вид

P ^ (-?оо)-2- (5.4.10)

Так как р должно быть равно нулю вне жидкости, g00 становится сингулярным на ее поверхности.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Thomas L. H., Nature, 117, 514 (1926).

2. Fermi E., Atti. R. Accad. Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Nat., 31, 21 (1922). Когда внимаю звездному ночному небу И знакам грандиозным и туманным...

Дж. Ките, Когда мне страшно что жизнь моя прервется...

Глава 6 КРИВИЗНА

Перейдем теперь к решению уравнений гравитационного поля, применяя принцип эквивалентности к самой гравитации. Как и в предыдущей главе, наиболее удобный путь использования этого принципа — это отыскание уравнений поля в общековариантном виде и сведение их затем к соответствующей форме в случае слабых полей. Итак, зададимся вопросом: какие тензоры можно образовать из метрического тензора и его производных? В данной главе мы рассмотрим это в чисто математическом аспекте, как в свое время это делали Гаусс и Риман. Информация, которую мы приобретем, будет использована в следующей главе; она поможет нам исследовать уравнения поля гравитации.

§ 1. Определение тензора кривизны

Нам надо построить тензор из метрического тензора и его производных. Если использовать только и его первые производные, то никакого нового тензора построить нельзя, поскольку в любой точке можно найти систему координат, в которой первые производные метрического тензора исчезают. Таким образом, в этой системе координат искомый тензор должен равняться одному из тех, что могут быть построены из одного лишь метрического тензора (например, ^rjiv или ^v, или e^Vy^g и т. д.), а поскольку это равенство между тензорами, оно должно выполняться во всех системах координат.

Теперь попытаемся построить тензор из метрического тензора и его первых и вторых производных. Чтобы сделать это, вспомним правило преобразования аффинной связности:

^x . ае*- дх'О дх'° ТУТ , дз? «5,1-14

V ~дх^~ дх» дх* 9х'т дх»дх* * (ЬЛЛ)

[Это — соотношение (4.5.2), в котором переставлены штрихованные и нештрихованные координаты.] В правой части этого соотношения имеется неоднородность, портящая тензорный характер

10* 148

Гл. в. Кривизна

а потому мы попробуем ее изолировать:

в*хп дх'х дх'р дх - ^4

HV--—(6.1.2)

дх» дхУ дх* ^ дх» dxv

Чтобы избавиться от левой части, используем некоммутативность частных производных. Дифференцирование по хк дает

дЧ'х „А, / дх'х „т, дх'Р дх"5

рА, / дх'1 rti дх'» дх'» ТЛч\

-1 ^ VIjT 1 ~ 1 paJ ~

г>х дх'р I дх"5 рт) дх"* дх'S 'X дх"5 ( дх'Р рТ1 дх'Ч дЛ r'p ^ ,

« .Л . .п дг'т

&'т ^v 9х'Р дуг, дТ^

дхх дхк дх» dxv дх4 ox,Tl * Собрав подобные члены и переставив некоторые индексы, получим

/ , гп гл

~ 1 дх* ^v И11

ox* I З*"« -1P^tia-Uair1P

pa p'tri'J. p'tp'i

r't Ox'a /pA. ox'P а, дх'р . ГК дх'Р I .R , оч

Вычитая затем отсюда то же самое уравнение с переставленными индексами VHK, находим, что все члены, включающие произведе-ешя Г на Г', исчезают, и остается следующее выражение:
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed