Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 51

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 254 >> Следующая


ц= -Г,

(5.2.3)

(5.2.4) 142

Гл. 5. Эффекты гравитации

Индексы теперь, естественно, следует поднимать и опускать c помощью а не tlav, т. е.

F%K = gXvMwJ*"' (5.2.5)

Так как Fliv и Ftlv антисимметричны, уравнения Максвелла можно переписать с помощью (4.7.10) и (4.7.11) в виде

YgFliv=-^gZv, (5.2.6)

дх»

Уравнения (5.2.3) — (5.2.7) справедливы в отсутствие гравитации и общековариантны, а потому, согласно принципу общей ковариантности, справедливы также в произвольных гравитационных полях.

Электромагнитная сила, действующая на частицу с зарядом е, в отсутствие гравитации имеет вид (2.7.9)

f=eFa?-^. (5.2.8)

Отсюда сразу следует, что в произвольных координатах электромагнитная сила в произвольном гравитационном поле равна

f = eF\, (5.2.9)

где, естественно,

Fmv = SrvJ1F1^. (5.2.10)

И снова мы воспользуемся принципом общей ковариантности. Уравнение (5.2.9), очевидно, сводится к (5.2.8) в локально-инер-циальных координатах Минковского и является общековариант-ным, поскольку j» — это вектор (см. § 1 гл. 5), CtovIdx — вектор, а FiJ определено как тензор; следовательно, формула (5.2.9) написана правильно.

Поучительно вычислить вектор тока Zv. В специальной теории относительности он равен

&{x-xn)dx«, (5.2.11)

п

причем интеграл берется вдоль траектории n-й частицы [см. уравнение (2.6.5)1. Четырехмерная дельта-функция в произвольной системе координат вводится следующим образом:

J dix0(x)8i(x~y) = 0(y). (5.2.12) § 3. Тензор энергии-импульса

143

Так как g1'2 d*x есть скаляр, то комбинация g~1/2б4 (х — у) тоже должна быть скаляром, который, конечно, сводится к обычной дельта-функции в специальной теории относительности, где g = 1 (именно этот скаляр в некоторых работах определяется как дельта-функция). Таким образом, ковариантный вектор, который сводится к Ja в отсутствие гравитации, равен

JP(X)-E-1^(X) 2 en j &(x — x„)dx». (5.2.13)

п

Заметим. что закон сохранения (д JaIdxa = 0) специальной теории относительности в общей теории имеет вид Z1V tl = O, или, с учетом (4.7.7),

o (?1/2/^ = 0. (5.2.14)

дхі*

Множитель g~1/2 в (5.2.13) необходим для того, чтобы компенсировать gl/2 в (5.2.14), так что (5.2.14) просто выражает факт постоянства еп.

§ 3. Тензор энергии-импульса

Плотность и поток энергии и импульса были объединены в § 2.8 в симметричный тензор ГаР, удовлетворяющий закону сохранения

где GP является плотностью внешней силы /Р, действующей на систему. (В изолированной системе имеем G? = 0.) Определим Tflv и Gv как контравариантные тензоры, которые совпадают с соответствующими величинами TaP и GP в отсутствие гравитации. Тогда общековариантное уравнение, которое согласуется с (5.3.1) в локально-инерциальных системах, имеет вид

TlivJli = Gv (5.3.2)

или» с учетом (4.7.9),

(Yg ^v) = Gv-rv„r\ (5.3.3)

Ye дх»

Коэффициент Yg знаком уже нам из электродинамики и возникает как следствие того, что инвариантный объем равен Yg d*x. Второй член в правой части уравнения представляет собой плотность гравитационной силы. Как и следовало ожидать, эта сила зависит от системы, на которую она действует, только через тензор энергии-импульса. 144

Гл. 5. Эффекты гравитации

Тензор энергии-импульса системы точечных частиц в специальной теории относительности задается (см. § 8 гл. 2) в виде

Ta? -??- dx^ (X- *») - (5.3.4)

п

причем интеграл здесь берется вдоль траектории частицы. Следуя точно тем же рецептам, что и при рассмотрении J» в предыдущем параграфе, приходим к заключению, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.4) в отсутствие гравитации, равен

T^ssg-V, 2 Мп j ^LdxnV8I (х-хп). (5.3.5)

п

Тензор энергии-импульса Fa^ электромагнитного поля в специальной теории относительности был вычислен в § 8 гл. 2 и имел вид

Т* р = ^fPv _ _1. r,ap^vaFvs (5.3.6)

Не составляет никакого труда убедиться в том, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.6) в отсутствие гравитации, есть

Tv-v = F\Fvk—^gwF)MFXyt. (5.3.7)

Для системы, состоящей из частиц и излучения, тензор энергии-импульса есть сумма (5.3.5) и (5.3.7).

Возвращаясь к тензору энергии-импульса (5.3.5) только для вещества, легко вычислить

J T^fWx- 2 гпп-^- ,

п

где сумма включает все частицы в объеме, по которому ведется интегрирование. Это предполагает, что T»°gl/2 надо рассматривать, вообще говоря, как пространственную плотность энергии и импульса. Отсюда, в частности, можно найти энергию, импульс и угловой момент для произвольной системы

P*1= J Ttl0g1^d3X, (5.3.8)

J»v = j (^r0-^r0) g^d?x (5.3.9)

Однако эти величины не являются контравариантными тензорами и не сохраняются, поскольку не сохраняется T^g1'*, т. е. д (T»vg1/2)/dxv не обращается в нуль ввиду того, что между веществом и гравитацией происходит обмен энергией и импульсом. § 4. Гидродинамика и гидростатика

145

§ 4. Гидродинамика и гидростатика

В отсутствие гравитации тензор энергии-импульса идеальной жидкости задается формулой (2.10.7)

Г"3 = PTfP+ Q?+ Р) UaUfi, (5.4.1)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed