Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
ц= -Г,
(5.2.3)
(5.2.4)142
Гл. 5. Эффекты гравитации
Индексы теперь, естественно, следует поднимать и опускать c помощью а не tlav, т. е.
F%K = gXvMwJ*"' (5.2.5)
Так как Fliv и Ftlv антисимметричны, уравнения Максвелла можно переписать с помощью (4.7.10) и (4.7.11) в виде
YgFliv=-^gZv, (5.2.6)
дх»
Уравнения (5.2.3) — (5.2.7) справедливы в отсутствие гравитации и общековариантны, а потому, согласно принципу общей ковариантности, справедливы также в произвольных гравитационных полях.
Электромагнитная сила, действующая на частицу с зарядом е, в отсутствие гравитации имеет вид (2.7.9)
f=eFa?-^. (5.2.8)
Отсюда сразу следует, что в произвольных координатах электромагнитная сила в произвольном гравитационном поле равна
f = eF\, (5.2.9)
где, естественно,
Fmv = SrvJ1F1^. (5.2.10)
И снова мы воспользуемся принципом общей ковариантности. Уравнение (5.2.9), очевидно, сводится к (5.2.8) в локально-инер-циальных координатах Минковского и является общековариант-ным, поскольку j» — это вектор (см. § 1 гл. 5), CtovIdx — вектор, а FiJ определено как тензор; следовательно, формула (5.2.9) написана правильно.
Поучительно вычислить вектор тока Zv. В специальной теории относительности он равен
&{x-xn)dx«, (5.2.11)
п
причем интеграл берется вдоль траектории n-й частицы [см. уравнение (2.6.5)1. Четырехмерная дельта-функция в произвольной системе координат вводится следующим образом:
J dix0(x)8i(x~y) = 0(y). (5.2.12)§ 3. Тензор энергии-импульса
143
Так как g1'2 d*x есть скаляр, то комбинация g~1/2б4 (х — у) тоже должна быть скаляром, который, конечно, сводится к обычной дельта-функции в специальной теории относительности, где g = 1 (именно этот скаляр в некоторых работах определяется как дельта-функция). Таким образом, ковариантный вектор, который сводится к Ja в отсутствие гравитации, равен
JP(X)-E-1^(X) 2 en j &(x — x„)dx». (5.2.13)
п
Заметим. что закон сохранения (д JaIdxa = 0) специальной теории относительности в общей теории имеет вид Z1V tl = O, или, с учетом (4.7.7),
o (?1/2/^ = 0. (5.2.14)
дхі*
Множитель g~1/2 в (5.2.13) необходим для того, чтобы компенсировать gl/2 в (5.2.14), так что (5.2.14) просто выражает факт постоянства еп.
§ 3. Тензор энергии-импульса
Плотность и поток энергии и импульса были объединены в § 2.8 в симметричный тензор ГаР, удовлетворяющий закону сохранения
где GP является плотностью внешней силы /Р, действующей на систему. (В изолированной системе имеем G? = 0.) Определим Tflv и Gv как контравариантные тензоры, которые совпадают с соответствующими величинами TaP и GP в отсутствие гравитации. Тогда общековариантное уравнение, которое согласуется с (5.3.1) в локально-инерциальных системах, имеет вид
TlivJli = Gv (5.3.2)
или» с учетом (4.7.9),
(Yg ^v) = Gv-rv„r\ (5.3.3)
Ye дх»
Коэффициент Yg знаком уже нам из электродинамики и возникает как следствие того, что инвариантный объем равен Yg d*x. Второй член в правой части уравнения представляет собой плотность гравитационной силы. Как и следовало ожидать, эта сила зависит от системы, на которую она действует, только через тензор энергии-импульса.144
Гл. 5. Эффекты гравитации
Тензор энергии-импульса системы точечных частиц в специальной теории относительности задается (см. § 8 гл. 2) в виде
Ta? -??- dx^ (X- *») - (5.3.4)
п
причем интеграл здесь берется вдоль траектории частицы. Следуя точно тем же рецептам, что и при рассмотрении J» в предыдущем параграфе, приходим к заключению, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.4) в отсутствие гравитации, равен
T^ssg-V, 2 Мп j ^LdxnV8I (х-хп). (5.3.5)
п
Тензор энергии-импульса Fa^ электромагнитного поля в специальной теории относительности был вычислен в § 8 гл. 2 и имел вид
Т* р = ^fPv _ _1. r,ap^vaFvs (5.3.6)
Не составляет никакого труда убедиться в том, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.6) в отсутствие гравитации, есть
Tv-v = F\Fvk—^gwF)MFXyt. (5.3.7)
Для системы, состоящей из частиц и излучения, тензор энергии-импульса есть сумма (5.3.5) и (5.3.7).
Возвращаясь к тензору энергии-импульса (5.3.5) только для вещества, легко вычислить
J T^fWx- 2 гпп-^- ,
п
где сумма включает все частицы в объеме, по которому ведется интегрирование. Это предполагает, что T»°gl/2 надо рассматривать, вообще говоря, как пространственную плотность энергии и импульса. Отсюда, в частности, можно найти энергию, импульс и угловой момент для произвольной системы
P*1= J Ttl0g1^d3X, (5.3.8)
J»v = j (^r0-^r0) g^d?x (5.3.9)
Однако эти величины не являются контравариантными тензорами и не сохраняются, поскольку не сохраняется T^g1'*, т. е. д (T»vg1/2)/dxv не обращается в нуль ввиду того, что между веществом и гравитацией происходит обмен энергией и импульсом.§ 4. Гидродинамика и гидростатика
145
§ 4. Гидродинамика и гидростатика
В отсутствие гравитации тензор энергии-импульса идеальной жидкости задается формулой (2.10.7)
Г"3 = PTfP+ Q?+ Р) UaUfi, (5.4.1)