Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. История создания неевклидовой геометрии
Евклид в «Элементах» показал, как с помощью нескольких определений, аксиом и постулатов можно было бы построить геометрию. Его предположения в основном относятся к самым фундаментальным свойствам точек, линий и фигур, и школьникам XX в. они кажутся столь же очевидными, как и эллинским математикам III в. до н. э. Однако одно из утверждений Евклида всегда казалось менее очевидным, чем другие. Пятый постулат Евклида гласит: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» 2).
В течение двух тысяч лет геометры пытались освободить евклидову систему постулатов от этого последнего, доказывая, что он является логическим следствием остальных. Сегодня мы знаем, что это невозможно. Евклид был прав: нельзя обнаружить противоречия в геометрии без пятого постулата, а потому, если он
1) Основное английское издание [2] с введением и комментариями Т. Хитса.
2) «Начала Евклида», перевод с греческого Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, М.— JI., 1948—1950,— Прим. перев. § 1. История создания неевклидовой геометрии
15
нам нужен, его необходимо ввести с самого начала, а не пытаться доказывать в конце. Тем не менее борьба за доказательство пятого постулата привела в конечном итоге к одному из величайших достижений в истории математики — созданию неевклидовой геометрии.
Список тех, кто надеялся доказать пятый постулат как теорему, включает Птолемея (умер в 168 г.), Прокла (418—485), Насирэддина Туси (XIII в.), Леви бен Герзона (1288—1344), П. А. Катальди (1548—1626), Джованни Альфонсо Борелли (1608—1679), Витали Джордано (1633—1711), Джона Валлиса (1616—1703), Джироламо Саккери (1667—1733), Иоганна Генриха Ламберта (1728—1777) и Адриена Мари Лежандра (1752— 1833). Все они, без исключения, преуспели лишь в замене пятого постулата каким-либо другим более или менее эквивалентным постулатом, который, однако, не удавалось вывести из других постулатов Евклида. Так. последователь Платона Прокл из Афин предложил следующую замену пятого постулата: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных, она пересекает и другую» (т. е. если определить параллельные как нигде не пересекающиеся прямые, то существует не более одной прямой, проходящей через любую заданную точку и параллельной данным). Джон Валлис, профессор Оксфорда, показал, что пятый постулат Евклида можно заменить следующим эквивалентным утверждением: «Для любой заданной фигуры существует фигура, подобная ей, причем любого размера». Лежандру удалось доказать эквивалентность пятого постулата такому утверждению: «Существует треугольник, в котором сумма трех углов равна двум прямым» L).
В XVIII в. попытки обойти пятый постулат Евклида приняли другое направление. В 1733 г. иезуит Джироламо Саккери опубликовал детальное изучение вопроса, какой могла бы быть геометрия, если бы пятый постулат оказался ложным. В частности, он рассмотрел следствия своей «гипотезы об острых углах»— утверждения, что «для любой заданной прямой можно провести прямую, перпендикулярную к ней, и прямую, пересекающую ее под острым углом, которые не пересекали бы одна другую» '). В действительности Саккери не считал это возможным; он был убежден в необходимости пятого постулата и исследовал неевклидову геометрию только в надежде отыскать в итоге логическое противоречие. Аналогичные попытки исследования неевклидовой геометрии были начаты Ламбертом и Ле-"'Кандром.
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), кажется, был первым. У кого хватило смелости принять логическую возможность суще-
Цитируется по работе |3]. 16
Гл. 1. Историческое введение
«твования неевклидовой геометрии 4). Его постепенное прозрение увековечено в цикле писем (см. [4]) к Бойяи, Олберсу, Шумахеру, Герлингу, Тауринусу и Бесселю, написанных за период с 1799 по 1844 г. В письме, датированном 1824 г., он просил Тауринуса хранить молчание о «высказанном им еретическом мнении». Гаусс обращался даже к триангуляционной съехмке в горах Гарца, производя съемку треугольника, образуемого вершинами Инзель-берг, Брокен и Высокий Хаген, чтобы увидеть, будет ли сумма его внутренних углов равна 180° (так и оказалось ). Затем в 1832 г. он получил письмо от своего друга Вольфганга Бойяи, в котором была описана неевклидова геометрия, развитая его сыном, Яношем Бойяи (1802—1860), офицером австрийской армии. Впоследствии Гаусс узнал, что профессор из Казани Николай Иванович Лобачевский (1793—1856) получил аналогичные результаты в 1826 г.
Гаусс, Бойяи и Лобачевский независимо друг от друга открыли то, что сейчас называется двумерным пространством постоянной отрицательной кривизны. Пространства такого вида весьма интересны; позже, в главе, посвященной космографии, мы увидим, что пространство, в котором мы обитаем, возможно, является трехмерным пространством с постоянной кривизной. Однако для создателей новой геометрии было важным то, что она описывает бесконечное двумерное пространство, для которого справедливы все предположения Евклида — за исключением пятого постулата! Существует только одно такое пространство, и этим, возможно, объясняется, почему открытие новой геометрии было сделано более или менее независимо в Германии, Австрии и России. (Поверхность сферы также удовлетворяет геометрии Евклида без пятого постулата, но, поскольку такая поверхность конечна, на ней нет места параллельным линиям.)
