Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
x» = x»(u\uz.....ир). (4.11.17)
В действительности часто не удается покрыть все множество единственным набором u-координат. В общем случае необходимо вводить различные наборы u-координат в различных перекрывающихся частях множества с той оговоркой, что для ^вух перекрывающихся частей, в которых заданы координаты йг и иг соответственно, в области перекрытия иг может быть выражена как гладкая одно-однозначная функция от р параметров йг, и наоборот. Фактически мы будем встречаться здесь с тем, что называется ориентируемыми множествами, т. е. такими множествами, для которых координаты в каждой их части могут быть выбраны так, что в областях перекрытия все детерминанты | ди/дй | положительно определенны. Поверхность сферы, например, является ориентируемой поверхностью. В дальнейшем мы не встретимся с такими усложнениями, но мы все же должны помнить, что для покрытия множества может потребоваться более чем один набор ц-координат. Не забывая о такой возможности, мы определим здесь интеграл от р-формы t над множеством оМ размерности р как повторный интеграл
J ^."11,??- du», (4.11.18)
аМ
в котором пределы интегрирования задаются границами множества.
Этот интеграл ведет себя как скаляр при преобразованиях координат х», использованных для определения р-формы. Необходимо также рассмотреть, как ведет себя этот интеграл, если мы станем описывать множество с помощью нового набора параметров м1 . . . йр вместо и1 . . . ир. Учитывая антисимметрию t, легко видеть, что в этом случае подынтегральное выражение приобретает коэффициент — детерминант | ди/дй |, в то время как р-мер-ный элемент объема приобретает положительный множитель Il дї/ди ||. Таким образом, весь интеграл либо не изменяется вовсе, либо изменяет знак в зависимости от того, положителен или отрицателен детерминант | ди/дй |. (Мы, конечно, предполагаем, что преобразование иг -»- йг несингулярно, так что этот детерминант не может равняться нулю и, следовательно, сохраняет свой знак на всем <S.) Этот результат, между прочим, показывает, что в том случае, когда для покрытия множества необходимо 436
Гл. 4. Тензорный анализ
несколько систем u-координат, интеграл от р-формы по области перекрытия двух частей, описываемых координатами и1 и ц', может вычисляться в любой из этих систем координат, если детерминант I ди/дй I положителен. Именно по этой причине мы ограничиваемся рассмотрением ориентируемых множеств.
Простейший пример интеграла типа (4.11.18) — это частный случай, когда р равно размерности п координатного пространства х». Здесь сами координаты х» могут использоваться как и-коор-динаты, так что (4.11.18) принимает вид
j tdVn= j ti2,..ndxl dx? ..
dx11
Заметим, что подынтегральное выражение • -т так же как и однокомпонентный тензор, является скалярной плотностью веса —1, поскольку его можно выразить следующим образом:
a Sjlv"- является тензорной плотностью веса —1 (см. § 4 гл. 4). Следующий простейший пример, получим, полагая в (4.11.18) р = п — 1, т. е.
j tdVn-i= j PdSiu M
где t» есть векторная плотность
^H1... Hp = eHr--HpH^'
a dSu — элемент поверхности, ориентированный по нормали к множеству:
QxIiI дх^Р
dSH ^ Sh1. . .IipIiSisr • • • -JJT dui duV-
С помощью этого общего определения интегралов от р-форм можно доказать, что интеграл от внешней производной р-формы на множестве размерности (р + 1) есть просто интеграл от самой р-формы по р-мерной границе множества (см. 18]):
j DtdVp+i= j tdVp. (4.11.19)
aS граница M
(Мы не будем вникать в проблему определения ориентации границы, которая возникает при определении знака в правой части.) Теорема Стокса и теорема Гаусса — это просто частные случаи этой общей формулы при п = 3, р = 1 и при п = 3, р = 2 соответственно. Цитированная литература
137
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Kretschmann E., Ann. Phys. (Leipzig), 53, 575 (1917).
2. Friedrichs К. О., Math. Ann., 98, 566 (1928).
3. Wigner Е. Р., Symmetriesand Reflections, Indiana University Press, 1967 (см. перевод: Вигпер E., Этюды о симметрии, «Мир», 1971).
4. Weinberg S., в книге Lectures on Elementary Particles and Quantum Field
Theory, M.I.T. Press, 1970, p. 283.
5. Graves L. Af., The TheoryofFunctions of a Real Variable, McGraw-Hill, 1956.
6. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, 1941, Sec. 1.14-1.18 (см. перевод: Стрэттон Дж., Теория электромагнетизма, ИЛ, 1948).
7. Schiff L. /., QuantumMechanics, 3rd ed., McGraw-Hill, 1968, p. 399 (см.
перевод 1-го изд.: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1959).
8. Flanders Я., Differential Forms, Academic Press, 1963. Кто сферами небес в высотах управляет Пути планет
в безбрежном небе знает, Другому нужен бледный свет Луны..,
Александр Поп
Глава 5
ЭФФЕКТЫ ГРАВИТАЦИИ
Вернемся теперь к физике и попробуем использовать то, чему мы научились в предыдущей главе для исследования того, как влияет гравитация на уравнения механики и электродинамики. Будем пользоваться при этом предписаниями принципа общей ковариантности. Сначала мы должны записать уравнения так, как они выглядят в специальной теории относительности, затем выяснить, как изменится в этих уравнениях каждая величина при произвольных преобразованиях координат, и заменить T]MV на ^liv, а все производные — ковариантными производными. Полученные уравнения будут общековариантны и справедливы в отсутствие гравитации, а следовательно, справедливы в произвольных гравитационных полях при условии, что рассматриваемая система достаточно мала по сравнению с масштабами полей.
