Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
(dx» Д dxv) Д dxx = dx» Д (dxv Д dxx),
dx» Д dxv = — dxv Д dx».
Произведение co1 Д co2 дифференциальных форм co1 и со 2 имеет тензорные коэффициенты, которые совпадают с внешними произведениями тензорных коэффициентов iuv . . . форм co1 и co2. Свойства ассоциативности и коммутативности (4.11.5) и (4.11.7) внешнего произведения тогда вытекают тривиальным образом из соответствующих свойств произведения dx» Д dxv. Как уже было сказано, мы не будем пользоваться этим аппаратом; для нас р-форма будет просто антисимметричным тензором безотносительно к соответствующей дифференциальной форме.
Целесообразность развития теории р-форм в независимости от остального тензорного анализа возникает, когда мы изучаем их производные. Оператор частной производной д/дх» является кова-риантным вектором или, другими словами, 1-формой, так что для любой заданной р-формы t можно определить (р + 1)-форму Dt, называемую внешней производной от t, беря просто внешнее произведение д/дх на t:
m^irte* (4-11-8)
или, подробнее,
(^V1...Ivi-Antisym {.JL^...^} . (4.11.9)
Например, внешняя производная 0-формы t есть просто обычный градиент:
__^ = -Br-
1J Оптимальным руководством для понимания теории дифференциальных -форм является книга [8]. § 11. р-формы и внешние производные
133
а внешняя производная 1-формы ty.—просто ротор:
При размерности, равной трем, внешняя производная 2-формы сводится к обычной дивергенции:
Ww--JM-Sh--BK-^-).
Первое замечательное свойство внешней производной — то, что, действуя на тензорную р-форму, она дает тензорную (р + 1)-форму. Самый простой способ убедиться в этом — заметить, что частные производные, используемые при определении внешней производной, можно заменить ковариантными производными
(^Ou1...Hptl-Antisym (Ч—»vr. »j (4-11-10)
поскольку члены с аффинными связностями, появляющиеся при ковариантном дифференцировании, сокращаются при антисимметризации. Полученные выше результаты (4.7.1), (4.7.2) и (4.7.11) оказываются тогда частными случаями выражения (4.11.10) для р=0, р = 1 и р = 2.
С помощью свойств ассоциативности и коммутативности (4.11.5) и (4.11.7) для внешней производной легко получить простую формулу внешней производной от внешнего произведения р-формы S на g-форму t:
D(s/\t) = Dsf\t + (-l)pqDt/\s =
*=Ds/\t + (-i)ps/\Dt. (4.11.11)
Из тех же правил следуем что кратные внешние производные равны нулю, например
(4-11-1?
Этот результат известен как лемма Пуанкаре. Среди частных случаев этой леммы имеются два хорошо известных результата векторного анализа в трехмерном пространстве: равенства нулю ротора градиента и дивергенции ротора.
Естественно, возникает вопрос, справедлива ли обратная лемма Пуанкаре, а именно: если s есть (р + 1)-форма, для которой
Ds = 0, (4.11.13)
то можем ли мы написать
S = Dt (4.11.14)
для некоторой р-формы <? Ответ утвердительный при условии, что область для которой справедливо (4.11.13) и для которой мы 134
Гл. 4. Тензорный анализ
проверяем (4.11.14), может быть деформирована в точку. И вообще, область M можно деформировать в точку у», если каждая точка х» в M может быть связана с точкой у» траекторией Xм- (Л.; х), лежащей целиком в M (X здесь—действительный параметр, принимающий значения от нуля до единицы), а
= X* (1; х) = х».
Можно непосредственно удостовериться в том, что если (4.11.13) справедливо в области М, то (4.11.14) будет выполняться во всей этой области для р-формы:
Ц...цр(®) = (Р + 1)Х
X J -Ж--' • • ^Jv • -vP ( ( "
(4.11.15)
Хорошо известные результаты векторного анализа в трехмерном пространстве, утверждающие, что вектор можно выразить как градиент, если ротор от него равен нулю, или как ротор, если равна нулю его дивергенция, можно рассматривать как частные случаи этой теоремы для р = 0 и р = 1 соответственно. Уравнения Максвелла — аналогичный пример в четырехмерном пространстве. Тензор электромагнитного поля Fa$ является 2-формой, которая, согласно (2.7.10), имеет равную нулю внешнюю производную, так что этот тензор может быть выражен как внешняя производная 1-формы, условно обозначаемая как —2^4а:
„ дАц дАа
что совпадает с (2.7.11). Вообще говоря, р-форма, удовлетворяющая уравнению (4.11.14), не единственна. При заданном одном t наиболее общая р-форма, удовлетворяющая (4.11.14), есть форма
Г = t + Du, (4.11.16)
где и — произвольная (р — 1)-форма. Например, если Aa — один из вектор-потенциалов, ротор которого равен Fa&, то наиболее общий вектор-потенциал такого рода определяется «калибровочным преобразованием»
дФ
Ai = A
а
дха '
где Ф является произвольной 0-формой, т. е. произвольным скаляром.
По аналогии с тем, как внешняя производная является естественным обобщением известных операций градиента, ротора и дивергенции, можно построить скалярные интегралы р-форм над § 11. р-формы и внешние производные
135
множеством размерности р, которые окажутся естественным обобщением известных интегралов по объему от скалярных плотностей и поверхностных интегралов от нормальных компонент векторных плотностей. Множество о/Ж размерности р в гс-мерном пространстве — это просто область, внутри которой п координат х» можно выразить в виде гладких одно-однозначных функций от р параметров их'.
