Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
= —ieAa(x)]y(x), (4.10.3)
которая преобразуется как само поле
SSaty (X) -> [35{х)\ еІЄ(РМ. (4.10.4)
Уравнение, инвариантное при калибровочных преобразованиях с постоянным ф (такая инвариантность равносильна просто сохранению заряда), будет инвариантно и при калибровочном преобразовании (4.10.1), (4.10.2), если в это уравнение входят только поля ф (х) и их калибровочно-ковариантные производные ??аф (х). Аналогично этому, уравнение, инвариантное при преобразованиях Лоренца, инвариантно при произвольных преобразованиях координат, если оно составлено лишь из тензоров и их ковариантных производных. Например, мы можем написать калибровочно-инва-риантное уравнение, которое описывает взаимодействие заряженного скалярного поля ф (х) с электромагнитным в виде
[TiaPSaS3 + то2] ф (я) = 0, (4.10.5)
или, более подробно,
( -HeA*-ie^r- е2АаАа + т* )*(*) = 0.
Одно из важных свойств таких теорий — это то, что они позволяют ввести сохраняющиеся калибровочно-инвариантные токи; в рас-
9—0788130
Гл. 4. Тензорный анализ
сматриваемом примере мы можем определить
Ja(x) = -ie (х) ЗД (х) - ф (х) [ЗД (ж)]+}.
(«Кинжал» означает комплексное сопряжение, а в квантовой теории—эрмитово сопряжение.) Свойство калибровочной инвариантности очевидно; а для того чтобы убедиться, что Ja (х) сохраняется, вычислим величину
Подставляя сюда (4.10.5), получаем
Можно, следовательно, подставить этот ток в правую часть уравнения Максвелла (2.7.6), и уравнение при этом останется калибро-вочно-инвариантным. В гл. 7 мы покажем, что уравнения поля гравитации выводятся аналогичным образом.
Можно распространить эту аналогию между калибровочной инвариантностью электродинамики и общей ковариантностью теории относительности на сходную симметрию, называемую киральной (см. [4]). Такая симметрия характерна для взаимодействия я-мезонов, однако надлежащее разъяснение этого вопроса могло бы составить содержание еще одной книги.
§ 11. р-формы и внешние производные *
Антисимметричные тензоры и их антисимметризованные производные обладают рядом замечательно простых и полезных свойств; с частью из них мы уже познакомились в § 7 этой главы. Чтобы описать эти свойства единым образом, математики развили общий формализм, известный как теория дифференциальных форм*). К сожалению, слишком абстрактные и сокращенные обозначения, используемые в этом формализме, серьезно затрудняли в последние годы общение между «чистыми» математиками и физиками. В этом параграфе будут изложены фундаментальные результаты
+ ^ (х) (За + ieAa (х)) &«ф (х) --т|> (х) l(3a + IeAa(X)) ЗД (*)]+} =
= (х) SEa,ЗД (х) — (х) [2)а3)а\|> (я)]+.
Для лучшего понимания материала по теории дифференциальных форм см., например, [8].§ 11. р-формы и внешние производные 131
теории дифференциальных форм, однако в тензорных обозначениях, знакомых физикам, а не в малопонятных обозначениях, применяемых математиками.
Ковариантный тензор ранга р, антисимметричный при перестановке любой пары индексов, назовем р-формой. В пространстве п измерений число алгебраически независимых компонент р-формы равно биномиальному коэффициенту:
(I)-таг- (4-"-1)
Например, скалярное поле есть 0-форма, ковариантное векторное поле — 1-форма, а антисимметричный ковариантный тензор с двумя индексами — 2-форма.
Линейная комбинация р-форм является также р-формой. Однако прямое произведение Sfiv. . .tpa. .. р-формы Svlv... и (/-формы tpfj... не будет (р -J- д)-формой, поскольку оно не полностью антисимметрично. Можно образовать (р + <?)-форму s/\t, антисим-метризуя прямое произведение:
('AOn1-Hptg = Antisym X W1...Iip^1...ц,+,}. (4-11.2)
Слово «Antisym» будет всегда обозначать среднее по всем перестановкам (П) индексов:
AntisymK1H2-Hto)^-jjj- 2 впиншиш-.иш.- (4'11"3)
п
Здесь бп — знаковая функция, равная +1 или —1 в зависимости от того, содержит ли П четное или нечетное число перестановок отдельных пар индексов:
{+1, П четное,
4 TT (4.11.4)
— 1, П нечетное. 4 '
Антисимметризованное прямое произведение (4.11.2) называется внешним произведением. Например, внешнее произведение 0-формы S и 1-формы является обычным произведением
(«А On = Stll,
в то время как внешнее произведение 1-формы S11 и 1-формы tv есть 2-форма:
(sAOhv = ~ (sm/V — Sjll).
Читатель может легко убедиться сам, что внешнее произведение ассоциативно:
(s ДО Au = S Д (і Ди) (4.11.5)
и билинейно:
(OC1S1-Ha2Sg)Af = OC1 (S1 A0+a2 (S2At),
S A («Mi + <*А) = «і (*A'i) + «2 (s/\t2). (4.11.6)
9*132
Гл. 4. Тензорный анализ
Здесь CL1 и а2 — скаляры. Внешнее произведение, однако, некоммутативно; так, если s есть р-форма, a t есть g-форма, то
(* Л t) = (-I)W (t Л в). (4.11.7)
Здесь стоит остановиться и заметить, что в книгах по математической теории дифференциальных форм г) р-форму t, вообще говоря, представляют не тензорными компонентами . . а «дифференциальной формой»
(OSiliv ... (dx» Д dxv Д ...).
Символ dx» означает здесь величину, которая преобразуется как бесконечно малое смещение координат, т. е. как контравариантный вектор; произведения их в отличие от произведений смещений обладают свойствами ассоциативности и антикоммутативности: