Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
dA'V {т) _ дх» dAv (т) дН'» dx
X
dx дхУ d^ ~ dxv дх% dx
Av (х). (4.9.2)
Вторая производная d2x'»/dxv дху- аналогична тому члену, который нарушает однородность правила преобразования (4.5.8) аффинной связности, так что мы можем определить ковариантную производную вдоль кривой х» (т) следующим образом: § 9. Ковариантнос дифференцирование вдоль кривой 127
Тогда выражения (4.5.8), (4.9.1) и (4.9.2) показывают, что эта величина является вектором, поскольку
DA» дх» DAv .. п
-TH=^F-TH (4-9-4>
Сходство формул (4.9.3) и (4.6.4) для ковариантной производной векторого поля очевидно.
Аналогичное рассмотрение позволяет ввести ковариантную производную вдоль кривой х» (т) для ковариантного вектора Bll (т):
DB и dB*, y7rv
Выражение (4.5.2) позволяет убедиться в том, что найденная величина действительно вектор
DBI1 _ dxv DBv
D% Dx
(4.9.6)
Точно таким же образом ковариантная производная вдоль кривой х» (т) от произвольного тензора T (т) определяется добавлением к dT/dx члена, такого как в (4.9.3), для каждого верхнего индекса и вычитанием аналогичного члена в (4.9.5) для каждого нижнего индекса. Например,
DTK dT»v , dx% р га dx% 7,ц , Q 7
1Xp —TT- 1 V--I \v~T~1 о (Ч.У.І)
Dx ~~ dx 1 tp й v Av dx
и
DT'»V __ дх'» дха DTpa
d^ ~ дхр dx'v Dx
(4.9.8)
Свойства ковариантного дифференцирования, кратко изложенные в § 6—8, могут быть легко распространены на случай дифференцирования вдоль кривой.
Следует упомянуть, что ковариантная производная тензорного поля вдоль кривой может быть введена с помощью обычной ковариантной производной этого поля; например, если Tv— тензорное поле, тогда (4.9.6) приводит к выражению
^ = П; (4.9.9)
Dx dx
Однако в гл. 6 мы увидим, что тензоры, заданные на кривых, не всегда могут быть обобщены на тензорные поля; для них производная DIDX есть единственная возможная ковариантная производная.
Часто рассматривается случай, когда вектор А» (т), переносимый вдоль кривой частицей, не меняется с изменением т. если частица рассматривается в системе отсчета т. е. локаль- 128
Гл. 4. Тензорный анализ
но-инерциальной на х (т). (Эго выполняется для импульса и спина частицы, если на нее воздействуют только гравитационные силы; см. § 1 гл. 5.) В этой системе отсчета аффинная связность, а также d Atfdx исчезают, так что
ПА»
-?- = 0. (4.9.10)
Будучи ковариантным, это утверждение справедливо на х (т) в локально-инерциальной системе \Х(х) и, следовательно, справедливо во всех системах координат. Тогда вектор А» подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка
T =(4.9.11)
которое определяет А» для всех т, если А» задано при некотором начальном т. В этом случае говорят, что вектор А» (т) на кривой х» (т) задается с помощью параллельного переноса. Таким способом можно задать на кривой любой тензор, потребовав, чтобы его ковариантная производная вдоль кривой исчезала.
§ 10. Аналогия е электродинамикой *
В § 1 этой главы подчеркивалось, что общая ковариантность не является обычным принципом симметрии, в отличие от лоренц--инвариантности, а есть скорее динамический принцип, позволяющий ввести гравитационные поля. Сам по себе он имеет сильное сходство с другой «динамической симметрией» — локальной калибровочной инвариантностью, которой подчиняются эффекты электромагнитных полей. Локальная калибровочная инвариантность гласит, что дифференциальные уравнения, удовлетворяемые набором заряженных полей ф (х) и электромагнитным потенциалом Aa (X), сохраняют свою форму, если эти поля подвергают преобразованию (см., например, [6]):
ф (х) -> ф {х) е«ф(*), (4.10.1)
A01(X) -> Aa (х) + -L.<р(х), (4.10.2)
дх
где е — заряд частицы, представленной полями ф, а ф (х) — произвольная функция пространственно-временных координат ха. Как построить калибровочно-инвариантные уравнения? Заметим, что производные заряженного поля ф ведут себя при калибровочных преобразованиях не так, как само ф, а следующим образом:
(X) *«**>) -*««**> [-^L + ;Єф(X) -QgL].
*) Этот и следующий параграфы лежат несколько в стороне от основной
линии книги и могут быть опущены при первом чтении. § 10. Аналогия с электродинамикой
129
Аналогичным образом производные тензоров не ведут себя как тензоры при произвольных преобразованиях координат. Из этого следует, что уравнение, такое, как
(?2 _ та2) ,J3 (х) = О
где
д д
QZ = ^ap.
не является калибровочно-инвариантным, как не является оно и общековариантным. Заметим еще, что электромагнитный потенциал A11 (X) подчиняется неоднородному калибровочному преобразованию, точно так же, как аффинная связность преобразуется с помощью неоднородного правила преобразования (4.5.2) при произвольных преобразованиях координат. В тензорном анализе мы прибавляли к производным тензоров члены, содержащие аффинную связность, чтобы образовать «ковариантные производные», которые преобразуются, подобно тензорам. В электродинамике мы прибавляем к производной от поля вектор-потенциал, чтобы образовать «калибровочно-ковариантную производную»:
