Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Еще один специальный случай, немного более сложный,— это ковариантная дивергенция контраварианїного вектора
VV- Г&УЧ (4.7.3)
Заметим, чт»
Это легко вычислить, если вспомнить, что для произвольной матрицы M
Sp {М"1 (х) M (х) I = InDetM (х), (4.7.5)
где Det означает детерминант, a Sp — след, т. е. сумму диагональных элементов. Чтобы доказать (4.7.5), рассмотрим вариацию Det M при смещении Xk на 8х1:
S In Det M = In Det (М + бМ) - In Det M =
= In DetSW) = In Det М~' (М + OM) = = InDet (1+M-1SM) In (1 + Sp M-l6M) SpM-1SM.
Введение коэффициента 8хк с обеих сторон этого выражения приводит к соотношению (4.7.5). Применяя теперь (4.7.5) в случае, когда M есть матрица gPil, находим с помощью (4.7.4), что
Из (4.7.3) тогда следует, что ковариантная производная равна просто
Прямое следствие этого — ковариантная форма теэремы Гаусса: если V^ исчезает на бесконечности, то
j = (4.7.8)
Отметим здесь появление коэффициента Ygt который делает величину d'"x Yg инвариантной. 124
Гл. 4. Тензорный анализ
Можно также использовать (4.7.6) для упрощения формулы ковариантной дивергенции тензора. Например,
^^r + TfcTkv + г^тЛ
и, применяя (4.7.6), находим
Tiiv^ = -ф=- (VJt^ + Т&Г* (4.7.9)
В частном случае Tfik = — Т^последний член исчезает, так что
когда Aliv антисимметричен.
Есть другой частный случай, также достаточно важный. Ковариантная производная ковариантного тензора Aliv равна
¦A Hv; X = T^iApv — Гух^іцр-
Предположим,
что AJ^v антисимметричен, т. е.
-^HV ~ -i^vji-
Если к Aliv-^x дважды прибавить тот же самый тензор с циклически переставленными индексами, мы найдем ввиду симметрии Гцх и антисимметрии Apv, что все Г-члены сократятся и для антисимметричного А
дАих> dAvx
дх% + dxv дх»
^v= я + аъп v + Av1 , = + + . (4.7.11)
§ 8. Векторный анализ в ортогональных координатах *
Читатель может спросить, как связан аппарат тензорного анализа, изложенный в этой главе, с известными формулами для градиента ротора и дивергенции в классических криволинейных системах координат. Эти трехмерные системы координат характеризуются условием, что gij диагонален, т. е.
Sii = Wii (1,7 = 1,2,3), (4.8.1)
где hi — некая функция координат (см., например, [6]). (Условимся суммировать по повторяющимся индексам на протяжении
*) Этот параграф лежит несколько в стороне от основной темы книги и может быть опущен при первом чтении. § 8. Векторный анализ в ортогональных координатах 125
всего этого параграфа.) Тогда обратный метрический тензор равен
^ = AT1Sy. (4.8.2)
Инвариантная собственная длина при этом выглядит так:
^gudxUxj +hl(dx3)2, (4.8.3)
і.»
а инвариантный элемент объема записывается следующим образом: dV = (Det g)1'* dx1 di2 dx3 = A1A2Zi3 dx1 cb2 dx\ (4.8.4)
To, что обычно называют компонентами вектора У при элементарных рассмотрениях, не является ковариантными компонентами Vi или контравариантнымя компонентами Vі, а есть «обычные» компоненты
Fi = AjFi = AT1Fi. (4.8.5)
Тогда скалярное произведение двух векторов записывается очень просто:
V-U=S BijViUi = VlUi -I- V2U2 + V3U3. (4.8.6)
із
Это, конечно, и заставляет выбрать определение в виде (4.8.5).] Однако градиент скаляра выглядит теперь несколько сложнее:
ViS = S^i = Ht1 -^r. (4.8.7)
Ротор вектора V также иначе выглядит в «обычных» компонентах:
(V X V) г ^ А, 2 (Det g) -V2 еЩ'}. h = ih
= Hi 2 (AiA2A3)"1 si}h J-hkVk. (4.8.8)
dxl
іJ
[Мы использовали (4.7.2), поскольку st,ft антисимметричен по j и к.) Например, первая компонента ротора равна
WxVi-^i-brta-^hj?,) . (4.8.9)
Дивергенция вектора V есть не что иное, как ковариантная дивергенция (4.7.7):
V-V= 2 Vili = (Detg)-1^ V ^r-(Detg)V2 Fi =
дх1
г і
= (A1A2A3)"1 ( A2A3F1 + J- A1A3F2 + Jr A1A2F3) . (4.8.10) 126
Гл. 4. Тензорный анализ
Лапласиан скалярной величины S равняется дивергенции ее грэ диента
v25 [SiiS-Ah (4.8.11)
ij
или, объединяя (4.8.10) с (4.8.7), получаем
V2S = (^?)"1 X
Г д h2hs dS д hjh3 oS д hfa 6S "j ,,
Л L dxl hi дх^дх* h2 дх* ^ дх* h3 дх« J * V^-0-1 Ч
Читателю самому нетрудно убедиться в том, что если ht задаются соответствующими формулами в сферических или цилиндрических координатах, то получаются обычные формулы для градиента, ротора, дивергенцяи и лапласиана.
§ 9. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой
В этой главе до сих пор рассматривались тензорные поля, определенные во всем пространстве-времени. Теперь мы рассмотрим тензоры T (т), определенные вдоль кривой х» (т). Приходят на память очевидные примеры: импульс (т) и спин Sll (т) отдельной частицы. Для таких тензоров, конечно, бессмысленно говорить о ковариантном дифференцировании по х», но мы можем определить ковариантную производную по инвариантной величине т, с помощью которой параметризована кривая.
Сначала рассмотрим контраЕариантный вектор А» (т), преобразующийся по правилам:
^ti(T) = ^v(T). (4.9.1)
Следует отметить, что частная производная dx'»!dxv вычисляется при xv = xv (т), так что она зависит от т. Следовательно, дифференцируя по т, мы получаем два члена
