Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
V — дх" у
дх'»
Дифференцируя это соотношение по х'%', получаем SV' дхр дх° Wn д*хр
_^ = ох ах_P і 0 х у (4 к 5\
dx'v дх'» дх'v дха dx'»dx'v Р' V--V
Далее из (4.5.2) следует, что
r'^F' — Г дх'Х дхР дх° Гт JL дх'% дЧ% 1 дхИ V —
^v L дх* дх» dx'v р0 + to* дх'»дх'ч J дх'Ь Vk_
дх* дх° ^ + у- (4.6.6)
дх» dx'v Р ' dx'»dx'V
Если вычесть (4.6.6) из (4.6.5), неоднородные члены сократятся, и мы получим
dvU WK-TT' Sxp дх° / SVp
дх "
Таким образом, мы ввели определение ковариантной производной от ковариантного вектора
Vk V=^--ItvVb (4-6.8)
и выражение (4.6.7) говорит нам, что Vil, v является тензором, поскольку
v^=-S- Sv«~ <4-6-9>
Способ распространения этих определений на случай общего вида тензора очевиден. Ковариантная производная по хр от тензора T : : : равна дТ : : -Jdxp плюс, для каждого контравариантного индекса fx, член, равный Г^р, умноженный на Т, где fx заменено на V, минус, для каждого ковариантного индекса X, член Г*р, умноженный на T, где X заменено на х, т. е.
Tiiax, р=TVr0l,+ (4.6.10)
Легко убедиться в том, что это действительно тензор.
Можно также распространить операцию ковариантного дифференцирования на тензорные плотности. Простейший способ добиться этого связан с учетом следующего факта: если JT — тензорная плотность веса W, то gw/2 ?Г является обычным тензором. Его § 6. Ковариантное дифференцирование
121
ковариантная производная — это также тензор, а умножая его> на g~w/2, мы снова получаем тензорную плотность веса W. Следовательно, ковариантная производная тензорной плотности веса W определяется следующим образом:
У:::;р = g~w/2 {gw ^ :::)¦,Р (4.6.11)
и уже не возникает необходимости проверять, что это действительно тензорная плотность веса W. Итог таков: ковариантная производная по хр от тензорной плотности веса W образуется как раз так, как если бы S являлось обычным тензором, за исключением того, что мы вводим дополнительный член (WI2g) °Г : : : (dg/dxp). Например,
р = <Г\ + TpVJFvx-TZftT^ + -Ж. (4.6.12)
Комбинирование ковариантного дифференцирования с алгебраическими операциями, введенными в § 3 этой главы, приводит к действиям, аналогичным обычному дифференцированию. В частности:
A. Ковариантная производная суммы тензоров (с постоянными коэффициентами) равна сумме ковариантных производных от каждого тензора. Например, если а и ? — константы, то
(ct^ + ?f^x = Otil11v; X+ ?^x. (4.6.13)
Б. Ковариантная производная прямого произведения тензоров подчиняется правилу Лейбница. Например,
= РВХ4-А\ВХ,Р. (4.6.14)
B. Ковариантная производная свернутого тензора есть свертка ковариантной производной. Например, полагая a = X в выражении (4.6.10), получаем
TvxXtp =T»\ + T^TV\, (4.6.15)
причем последние два члена в (4.6.10) сократились.
Заметим также, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю, поскольку она исчезает в локально-инерциальных координатах, где исчезают Г%, и OglivZdxx, а тензор, равный нулю в одной системе, равен нулю во всех системах. Этот же результат можно получить более простым способом, если заметить. что
g\LV, А, = --Tf^pv — Txv^p1X. 122
Гл. 4. Тензорный анализ
Из уравнения (3.3.1) следует, что эта величина исчезает:
*nv;x = 0. (4.6.16)
(Это рассуждение можно обратить, и получить еще один вывод соотношения между guv и tv,.) Точно таким же способом можно показать, что ковариантные производные других видов от метрического тензора также исчезают, т. е. что
Л = O1 (4.6.17)
б?; Х = 0. (4.6.18)
Из (4.6.16) — (4.6.18) следует, что операции ковариантного дифференцирования и поднимания-опускания индексов коммутируют; например,
(SlivVv)* = ^vVV,(4.6.19)
Важность операции ковариантного дифференцирования вытекает из следующих двух ее свойств: она преобразует одни тензоры в другие и сводится к обычному дифференцированию в отсутствие гравитации, т. е. когда Tv, = 0. Эти свойства дают следующий алгоритм введения эффектов гравитации в физических системах. Следует написать соответствующее уравнение специальной теории относительности, справедливое в отсутствие гравитации, затем заменить Tjliv на guv, а все производные — на ковариантные производные. Полученное уравнение будет общековариантным, справедливым в отсутствие гравитации и, следовательно, согласно принципу общей ковариантности, оно будет справедливо и при наличии гравитационных полей при условии, что рассматриваемый пространственно-временной масштаб всегда достаточно мал по сравнению с масштабом гравитационного поля.
§ 7. Градиент, ротор и дивергенция
Существуют частные случаи, когда ковариантная производная имеет особенно простую форму. Простейший из них, конечно, ковариантная производная от скаляра, которая совпадает в действительности с обычным градиентом:
Другой простой частный случай — это ковариантный ротор. Напомним, что по определению
AVji § 7. Градиент, ротор и дивергенция
123
Так как симметрично no и v, то ковариантный ротор совпадает с обычным ротором
dVa dVv
V ^ = * (4-7-2>
