Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Читатель, вероятно, заметил, что это обсуждение тензорной алгебры совершенно аналогично соответствующему обсуждению в главе по специальной теории относительности (см. § 5 гл. 2), за одним важным исключением: здесь мы не разбирали операцию дифференцирования. Дело в том, что производная тензора, вообще говоря, не является тензором. Мы увидим в § 6 этой главы, что имеется определенный вид дифференцирования, называемый ковариантным дифференцированием, который дает еще один способ построения тензоров из тензоров.
§ 4. Тензорные плотности
Несмотря на широкую применимость тензоров, в их правилах преобразования нет ничего таинственного. Один из важных примеров нетензорной величины — детерминант метрического тензора
g ^ -Det ^v. (4.4.1)
8—0788 114
Гл. 4. Тензорный анализ
Правило преобразования метрического тензора можно рассматривать как матричное уравнение
' — дхс
Spa dx.v -
Вычисляя его детерминант, находим
? =
дх
дх'
g,
(4.4.2)
где І дхідх' I — якобиан преобразования х' —х, т. е. детерминант матрицы dxp/dx'v. Величина типа g, преобразующаяся подобно скаляру, если не считать дополнительных множителей от якобиана, называется скалярной плотностью. Аналогично величина, которая преобразуется как тензор, но с дополнительными множителями от якобиана, называется тензорной плотностью. Число сомножителей I дх'/дх | в детерминанте называется весом плотности. Например, из выражения (4.4.2) видно, что g является плотностью с весом —2, поскольку
(4.4.3)
в чем мы можем убедиться, вычисляя детерминант уравнения
дх11 дх'%
дх дх' -I
дх' дх
дх '
dxv
=
Любая тензорная плотность веса W может быть выражена как обычный тензор, умноженный на коэффициент g~wI2. Например, тензорная плотность веса W преобразуется по правилу
f'v- —
«у V —
Используя (4.4.2), находим
дх'
дх
W дх'»- дх* дхк dxv
аг\
¦ff
дх» діі
дхл
дх
-gWf
(4.4.4)
(4.4.5)
Важная роль тензорных плотностей определяется фундаментальной теоремой интегрального исчисления (см., например, [5]), состоящей в том, что при произвольном преобразовании координат X —>¦ х' элемент объема d*x заменяется так:
d4x' =
дх'
дх
d4 х-
(4.4.6)
Следовательно, произведение dix на тензорную плотность с весом — 1 преобразуется как обычный тензор. В частности, YSd*x является инвариантным элементом объема. § 4. Тензорные плотности
115
Существует тензорная плотность, элементы которой одни и те >ке во всех системах координат,— это тензорная плотность Леви-Чивита Чтобы ввести эту величину в произвольной системе
координат, расставим индексы координат в некотором произвольном, но определенном порядке, например х, у, z, t или Г, 0, ф, t и т. п. Тогда e»v%K определяется следующим образом:
( +1 при четной перестановке индексов, е[п-хх— «J ПрИ нечетной перестановке индексов, (4.4.7) I 0, если какая-нибудь пара индексов совпадает.
Чтобы убедиться в том, что это та же тензорная плотность, рассмотрим величину
дх'ъ дх'Ъ
дх» dxv дхх дх*
емлАх. (4.4.8)
Видно, что она полностью антисимметрична по индексам р, ст, rj, § и, следовательно, пропорциональна єроті?. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, предположим, что рсгт]? расставлены в нормальном порядке. Тогда (4.4.8) есть как раз детерминант І дх'/дх І, и
дх'Р дх'° дх"« dx't _
дх» Sxv дхх дх*
дх'
дх
еретгё. (4.4.9)
Следовательно, является тензорной плотностью веса —1.
Можно образовать обычный контравариантный тензор, умножая guvfot на g-1/2. Можно также образовать ковариантную плотность, понижая ее индексы следующим образом:
W = (4.4.10)
Это выражение антисимметрично по индексам и, следовательно, пропорционально єр<Тіії. Упорядочив рсгт]| в нормальную последовательность, найдем, что константа пропорциональности равняется —g, так что
Epanl=-^pai11- (4.4.11)
Читатель может легко убедиться в том, что гр(1Т1! — ковариант-ітая тензорная плотность веса —1.
Правила тензорной алгебры легко распространить и на тензорные плотности:
А. Сумма двух тензорных плотностей одинакового веса W есть тензорная плотность веса W.
Б. Прямое произведение двух тензорных плотностей с весами W1 и Wi дает тензорную плотность с весом W1 + W2. 116 Гл. 4. Тензорный анализ
В. Свертывание индексов у тензорной плотности веса !^приводит к тензорной плотности веса W. Из правил Б и В следует, что поднимание и опускание индексов не изменяют веса тензорной плотности.
§ 5. Преобразование аффинной связности
Помимо рассмотренных довольно тривиальных тензорных плотностей, в физических законах фигурирует другая крайне важная нетензорная величина — аффинная связность. Напомним ее определение:
Здесь Iа (х) — локально-инерциальные координаты. Переходя от х» в другую систему х'», находим
р'л, ^ дх'% д*%а ?V dla дх'» dx'v
дх% дхр д I дха dla \ __ дхР ІІЇ? дх'» \ dx'v дх° / ~
дх'х дхр Г дха дх% д*1а дЪа ^a ]
®* L dx'v дх» дхх дха дх» дхv dxo J
дхР dl1
Ссылаясь снова на определение (4.5.1), видим, что
