Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, что g?V — действительно ковариантный тензор. Обратный ему тензор контравариаптен, так как если мы вводим ^ix с помощью соотношения
то
дх%дх_^ а , pa Jte^ дх^_ _
glLV ~ дх° g dx'v- dx'v Єкц ~
дх'% ov дх^ _ дх'Х дхр л дхР g Oxv 8кп ~ дхР Oxv V
и, следовательно,
как и полагается контравариантному тензору. И наконец, символ Кронекера 6? является смешанным тензором, поскольку хц дх'Р dxv дх'Pdxv- § 3. Тензорная алгебра
111
Кроме скаляров и нуля, 6!J (как и его прямые произведения) является единственным тензором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат.
Вектор есть просто тензор с одним индексом, а скаляр — тензором без индекса, так что вообще нет нужды скаляр и вектор рассматривать отдельно. Однако читателя следует предупредить, что не все объекты являются тензорными; в частности, аффинная связность, несмотря на внешний вид ее записи, не есть тензор.
Мы можем теперь выделить один очень широкий класс инвариантных уравнений, а именно: любое уравнение будет инвариантным при произвольных преобразованиях координат, если оно имеет вид равенства двух тензоров с одинаковым набором верхних и нижних индексов. Например, если некие A11v^ и B^VK — два тензора, преобразующиеся по правилу (4.2.5), и если в системе координат х» выполняется равенство A11v^ = то, очевидно,
и в системе координат х'» справедливо равенство А ^ = В 11 В частности, поскольку нуль можно представлять себе любого вида тензором по нашему желанию, верно утверждение, что данный тензор исчезает инвариантно при произвольных преобразованиях координат. Напротив, формулы, не являющиеся равенствами между тензорами одного и того же вида (например, T»v = 5 или V» = Ull), могут численно выполняться в ограниченном классе систем координат, однако не быть справедливыми во всех системах.
§ 3. Тензорная алгебра
Для того чтобы научиться строить из тензоров уравнения, инвариантные при произвольных преобразованиях координат, надо знать, как из одних тензоров образовывать другие. Это выполняется с помощью нескольких простых алгебраических операций.
А. Суммирование. Сумма тензоров с одинаковыми верхними и нижними индексами есть тензор с теми же самыми индексами. Возьмем, например, два смешанных тензора. Рассмотрим их сумму
Т\ = аА\ + ЪВ\, где а и Ъ — скаляры. Тогда Т\ является тензором, поскольку
дхр dxv дхР Oxv
Т%.
дхр dx'v 112
Гл. 4. Тензорный анализ
Б. Прямое произведение. Произведение компонент двух векторов приводит к тензору, верхние и нижние индексы которого состоят из всех верхних и нижних индексов двух первоначальных тензоров. Например, если А\ и Bp являются тензорами, то комбинация
TV= A11vBp
тоже тензор, т. е.
Т\Р = А\В'Р=
_ дх'» дхк л, дх'р ?O _
~ дхх дх'v и дха ~
__ дх» дхк дх'р а
~ дхх дх'-1 дха к '
В. Свертка. Приравнивание верхнего и нижнего индексов и суммирование по их четырем значениям дают новый тензор, в котором эти два индекса отсутствуют. Например, если Ttxv00 является тензором, и если образовать
JTlXp __ jVu pv
то Tw тоже тензор, поскольку
Ji'np_Ji'n PV_
_ дх» дх1 дх'р дх'у -Л „t _ ~ дх* dx'v дхЪ дх% % ~
^ дх» дх'р JK ЦХ = дхк дхЪ ^
_ дх'» дх'р ~~ дхк дхЪ
Эти три операции можно, конечно, объединять различным образом. Наиболее важная комбинированная операция приводит к подниманию или опусканию индексов. Если мы рассмотрим прямое произведение контравариантного или смешанного тензора T с метрическим тензором g]lv и свернем индекс с одним из контра-вариантных индексов Т, мы получим новый тензор, в котором этот контравариантный индекс \i заменен ковариантным индексом. Например, если TtV является тензором и мы вводим
S\Po = SiivT^pQ,
то в соответствии с правилами Б и В, S^a будет тензором. Точно так же, если мы возьмем прямое произведение ковариантного § 4. Тензорные плотности
113
или смешанного тензора T с обратным метрическим тензором ^v и свернем индекс |Л с одним из ковариантных индексов T, мы получим новый тензор, в котором этот ковариантный индекс заменен контравариантным индексом v. Например, |если Svi р0 является тензором и мы определяем
Rvp0^rsilO0,
то R^p0 также тензор. Отметим, что опускание индекса, а затем поднимание его на прежнее место приводят к первоначальному тензору. Например, в разобранном уже выше случае мы опускали индекс у T, чтобы получить S, а затем поднимали его опять, чтобы получить R, а потому R = T, поскольку
Rv% = g^s Д = g^Txp0 = бITkpa = Tvp0.
Поднимая и опуская индексы, можно записать тензор с N индексами 2N различными способами. Так как все они физически эквивалентны, обычно используют один и тот же символ для всех 2N тензоров, различая их только по положению индексов.
Полноты ради можно упомянуть, что тензор, полученный операцией поднимания одного из индексов метрического тензора ^ixv пли опусканием индекса у обратного метрического тензора ^v, есть в точности тензор Кронекера, поскольку
Точно так же, поднимание обоих индексов ^liv дает обратный тензор
а опускание обоих индексов у g*~"A приводит к метрическому тензо-РУ ^nv-
