Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 40

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 254 >> Следующая


Любой физический принцип, такой, как общековариантность, который принимает форму принципа инвариантности, но содержание которого накладывает явное ограничение только на взаимодействия какого-нибудь конкретного поля, называется динамической симметрией [3]. Существуют другие динамические симметрии, имеющие большое значение в физике, такие, как локальная калибровочная инвариантность, управляющая взаимодействиями электромагнитного поля, или киральная симметрия х), управляющая взаимодействиями пионного поля. Мы будем не раз возвращаться к аналогии между общей теорией относительности и электродинамикой.

Принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с пространственно-временными размерами, типичными для гравитационного поля, так как только в малых областях можно, руководствуясь принципом эквивалентности, находить системы координат, в которых отсутствуют эффекты гравитации. Например, радиус Луны ненамного меньше, чем расстояние между Луной и Землей, так что мы не можем точно вычислить движение Луны, находя общековариантные уравнения, которые сводятся к точным уравнениям для свободного движения Луны в отсутствие гравитации. Мы можем, однако, рассматривать Луну как каменный шар и вычислять ее движение, применяя) принцип общей ковариантности для определения гравитационного воздействия на каждый бесконечно малый элемент массы Луны. Вообще говоря, существует много общековариантных уравнений, которые сводятся к данному уравнению специальной теории относительности в отсутствие гравитации. Однако, поскольку принцип общей ковариантности применим только к малым масштабам по сравнению с масштабом гравитационного поля, мы вправе ожидать, что только и его первые производные войдут в наши общековариантные уравнения. В этой и следующей главах мы увидим, что принцип общей ковариантности приводит к однозначным выводам относительно воздействия гравитационных полей на любую систему или часть системы, если они достаточно малы.

Iі) По поводу такого подхода к кпральной симметрии см., например, [4J. § 2. Векторы и тензоры

109

§ 2. Векторы и тензоры

Для того чтобы построить физические уравнения, инвариантные при произвольных преобразованиях координат, мы должны знать, как ведут себя при этих преобразованиях величины, стоящие В ур«внениях- Для некоторых величин, тех, что определяются непосредственно через дифференциалы от координат, трансформационные свойства могут быть определены путем прямого вычисления. Для других величин, таких, как электромагнитные поля, трансформационные свойства отчасти задаются по определению. Однако мы стремимся к тому, чтобы все величины, представляющие физический интерес, имели достаточно простые правила преобразования; в противном случае было бы затруднительно сводить их вместе в форм-инвариаитные уравнения. В этом параграфе мы введем класс объектов, правила преобразования которых особенно просты, и продемонстрируем их, где возможно, на примерах величин, определяемых непосредственно через кинематические переменные в данных системах координат.

Простейшее из правил преобразований — это правило для скаляров, которые не изменяются при любых преобразованиях координат. Очевидный пример — обычное число, такое, как 137 (или я, или нуль). Другой пример — собственное время dx, задаваемое выражением (3.2.6) (действительно, мы убедимся ниже, что метрический тензор определяется как раз таким образом, чтобы dx2 было инвариантом).

Согласно простейшему правилу, преобразуется контравариант-ный вектор Vкоторый при замене координат х» —хтрансформируется следующим образом:

= —. (4.2.1)

dxv

Например, правила взятия частной производной дают

dx» = d-^-dx\ (4.2.2)

дхЛ

так что дифференциал от координаты является контравариантным вектором. Очень похожим является преобразование ковариантного вектора Ull, который при замене х» х'» преобразуется так:

c^=SX (4-2-3)

Например, если ф — скалярное поле, то дф/дх» — ковариантный вектор, поскольку в соответствии с (4.2.3) в штрихованной системе координат градиент равен

дф dxv дф

дх» дх'и, дх"

у

(4.2.4) 110

Гл. 4. Тензорный анализ

От контравариантных и ковариантных векторов можно прямо перейти к тензорам. Тензор с верхними индексами р, v, . . , и нижними индексами к, X, .. . преобразуется как произведение контравариантных векторов IJv-Wv ... и ковариантных векторов VkVx ¦ ¦ ¦¦ Например, при замене х х' тензор Tv" ^ преобразуется следующим образом:

г'ц I _ dx'? дх<> дх'% „И а ,1 „ с

' V----TTj P • (^.z.o)

Если все индексы у тензора верхние, будем называть его контра-вариантным; если все индексы нижние — то ковариантным; в остальных случаях — смешанным. Наиболее важный пример — это метрический тензор, определенный в § 2 гл. З в произвольной системе координат Xlx с помощью соотношения

gixv = TlaB

dxv Oxv '

где — локально-инерциальные координаты. В какой-либо другой системе координат x'v метрический тензор равняется

Ola д\а дхр дха — чар--""

и, следовательно,

^v - Tla? dx.v - Пав -дхР ~ „ -dx,v ,
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed