Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
18. Drever R. W. P., Phil. Mag., 6, 683 (1961).
19. Greenstein J. L., Oke J. B., Shipman H. L., Astrophys. J., 169, 563 (1971). В математике он был более велик,
Чем Тихо Браге или Эрра Патер:
Геометрическим масштабом
Для него мог служить объем кружки эля
Легко расправлялся с синусами и танген
сами,
Когда хотел взвесить хлеб или масло, И мудро вычислял по правилам алгебры какой час дня бьют его часы.
С. Батлер,
Сэр Гудибрас, его последнее слово
Глава 4
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Мы уже отмечали, что принцип эквивалентности гравитации и инерции вскрывает глубокую аналогию между неевклидовой геометрией и теорией гравитации. В этой главе кратко изложен аппарат, общий для них обоих,— тензорный анализ.
§ 1. Принцип общей ковариантности
В последней главе мы использовали один из способов применения принципа эквивалентности, чтобы ввести эффект гравитации в физических системах. При этом мы записывали уравнения, установленные для произвольных гравитационных полей, в локально-инерциальных системах координат (т. е. уравнения специальной теории относительности, такие, как d%\aldx2 = 0), а затем делали преобразования координат, чтобы найти соответствующие уравнения в лабораторной системе координат. Можно использовать и далее этот метод, но он приведет нас к весьма утомительным вычислениям, когда мы доберемся до уравнений поля в электродинамике и гравитации.
Поэтому мы разовьем другой подход, который имеет то же физическое содержание, но намного элегантнее в обозначениях и удобнее в обращении. Этот подход вытекает из альтернативной версии принципа эквивалентности, известной как принцип общей ковариантности. Он утверждает, что физическое уравнение задано в произвольном гравитационном поле в том случае, когда выполняются два условия:
1) уравнение задано в отсутствие гравитации, т. е. оно соответствует законам СТО, когда метрический тензор в нем ga$ равняется тензору Минковского r|a? и аффинная связность Г"^ исчезает; § 1. Принцип общей ковариантности
107
2) уравнение общековариантно, т. е. оно сохраняет свою форму при произвольном преобразовании координат х-^х'.
Чтобы убедиться в том, что принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности, предположим, что мы находимся в произвольном гравитационном поле, и рассмотрим какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее двум вышеуказанным условиям. Согласно условию 2, мы знаем, что это уравнение справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется класс систем координат, локально-инерциальных систем, в которых эффекты гравитации отсутствуют. Условие 1 тогда говорит нам, что наше уравнение справедливо в этих системах и, следовательно, во всех других системах координат.
Следует подчеркнуть, что общая ковариантность сама по себе не имеет физического содержания [1]. Любое уравнение может быть сделано общековариантным, если записать его в какой-либо одной системе координат, а затем придать ему форму, не изменяющуюся при переходе в любую другую систему. Действительно, уже со школьной скамьи нам становится привычной запись физических уравнений в недекартовых системах координат, таких, как полярные координаты, и в неинерциальных системах, таких, как вращающиеся системы отсчета. Смысл принципа общей ковариантности применительно к эффектам гравитации состоит в том, что физическое уравнение благодаря его общей ковариантности будет справедливо в гравитационном поле, если оно справедливо в его отсутствие. Смысл общей ковариантности легче понять, если сравнить ее с лоренцевой инвариантностью. Так же как любое уравнение можно записать в общековариантном виде, так и любое уравнение можно сделать лоренц-инвариантным, если записать его в какой-либо одной системе координат, а затем придать ему форму, не изменяющуюся при лоренцевых преобразованиях. Однако, если мы проделаем это с нерелятивистским уравнением, например с ньютоновским вторым законом, то обнаружится, что после того как мы сделаем его лоренц-инвариантным, в нем появится новая величина, которая, естественно, является скоростью введенной системы отсчета относительно первоначальной системы. Требование, чтобы эта скорость не появлялась в преобразованном уравнении, и составляет то, что мы называем принципом специальной относительности, или, для краткости, «лоренц-инвариантностыо», и это требование накладывает очень жесткие ограничения на первоначальное уравнение. Подобно этому, когда мы придаем уравнению общековариантную форму, в него входят новіле величины: метрический тензор ^jiv и аффинная связность Г|iV. Отличие состоит в том, что в данном случае не требуется, чтобы названные величины в итоге исчезали, и, следовательно, не возникает никаких ограничений на уравнение, с которого мы 108
Гл. 4. Тензорный анализ
начинали; наоборот, мы пользуемся существованием ^jiv и T^v для введения гравитационных полей. Сформулируем это кратко принцип общей ковариантности не является принципом инвариантности, подобно принципу Галилея или специальной относи-тельности, а есть лишь некое утверждение об эффектах гравитации и ни о чем больше. В частности, общековариантность пе предполагает лоренц-инвариантности. Имеются общековариантные теории гравитации, позволяющие вводить инерциальные системы отсчета в любой точке гравитационного поля, но инвариантные относительно преобразования Галилея, а не относительно преобразования Лоренца в этих системах отсчета [2].
