Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
ибо, используя известное правило умножения
дхV д'Е? _
находим
8 8™ - Л 04а dg» %6 to" to* ~ 11 og? дх- ~ dl» дх* -
что и совпадает с (3.3.6).] Иногда правую часть выражения (3.3.7) называют символом Кристоффеля и обозначают так:
Одним из важных следствий соотношения между аффинной связностью и метрическим тензором является то, что уравнение движения свободно падающей частицы автоматически сохраняет форму собственного временного интервала dx. Используя (3.2.3), можно найти, что
d ( dx^ d? Л _ dg|xv dx* dx^ db? dx*
17 \g»v~dT~dT; J ~ dxx dx dV dx* g^v di* dx +
^ fcv_raglia v } dx* dxu dx1
+ faL^T-Sva1 Kfc-Svxl afcJ ^7 77^7-
Учитывая затем (3.3.5), легко видеть, что эта величина исчезает следовательно,
drIі Jrv
(3-3"9)
где С — интеграл движения. Далее, поскольку мы выбрали начальные условия так, что dt2 определяется (3.2.6), получаем C = 1, и равенство (3.3.9) гарантирует, что формула (3.2.6) применима вдоль всего пути частицы. Аналогично начальные условия для безмассовой частицы приводят к С = 0 (т заменяется при этом неким другим параметром а), и уравнения движения будут обеспечивать равенство нулю величины ^uv dxv- dxv вдоль всего пути. § 3. Связь между gjjv и Г ,у
91
Еще одним следствием соотношения (3.3.5) является возможность задавать теперь движение свободно падающих тел с помощью вариационного принципа. Введем произвольный параметр р, чтобы описать траекторию частицы, и будем определять собственное время, за которое частица падает из точки А в точку В, формулой
в в
„ f <2т J Cf dx»dxv\^!z,
Tba=) ^dp=] I dp.
А А
Теперь перейдем от траектории х» (р) к х» (р) + бх»1 (р), фиксируя ее конечные точки, т. е. полагая 6x^ = 0 в точках рА и рв. Тогда изменение Tba равно в
Iff dx» dxV "I -1/2
А
х\ дхх dp dp ^ dp aPfdP-
Первый сомножитель под интегралом — это просто dp/dx, так что интеграл моніно переписать следующим образом:
в
f-rp f Г 1 0^V s , dx» dxv , dbx» dxv 1 ,
A
Проинтегрировав по частям, пренебрежем вкладом конечных точек, поскольку бх^ обращается в нуль в А ж В. При этом
в
ffl 0Suv dx» dxv dSXv dx° dxv dHv 1 . , ,
6ГВД=-] |T_—бXх dx.
A
Используя соотношение (3.3.5) и учитывая, что T^v симметрична по нижним индексам, находим
в
+ (3.3.10)
А
Следовательно, мировая линия частицы в пространстве-времени, определяемая уравнениями свободного падения (3.2.3), будет такова, что затраченное собственное время окажется экстремальным (обычно минимальным), т. е.
6ГВА = 0.
Таким образом, мы можем интерпретировать уравнение движения '3.2.3) геометрически, считая, что частица, находящаяся в свобод- •92
Гл. 3. Принцип эквивалентности
ном падении в кривом пространстве-времени, называемом гравитационным полем, будет двигаться по кратчайшему (или самому длинному) из возможных путей между двумя точками; «длина» при этом измеряется собственным временем. Такие пути называют геодезическими. Например, можно считать, что Солнце искривляет пространство-время так, как большой груз искривляет резиновую пленку, и потому путь кометы, движущейся относительно Солнца, является «кратчайшим» из возможных. Однако такая геометрическая аналогия привлекается после решений уравнений движения, получаемых с помощью принципа эквивалентности, и не обязательна в нашем рассмотрении.
§ 4. Ньютоновское приближение
Чтобы найти связь с ньютоновской теорией, рассмотрим частицу, медленно движущуюся в слабом стационарном гравитационном поле. Если частица достаточно медленная, можно пренебречь dx/dx по сравнению с dt/dx и записать (3.2.3) в виде
A11xrH / dt \2
Так как поле стационарно, все временные производные исчезают и, следовательно,
А если поле еще и слабое, можно ввести почти декартову систему координат, в которой
gaV — r\a$, + Kb, |Aa?|<l. (3.4.1)
Таким образом, в первом порядке по ha$ находим
Подставляя это выражение аффинной связности в уравнения движения, получаем
d4 dx2 :
^=O
dx2
Решение второго уравнения: dt/dx = const (что можно увидеть, вычисляя dx в пренебрежении Act?); поэтому,] разделив уравнение с d2x/dx2 на (dt/dx)2, находим
S=4-'vkOO- (3.4.2)
:_ 1 (dt \2_, § 5. Изменение масштаба времени
93
Соответствующий ньютоновский результат выглядит так:
S=-v^ (3-4-3)
где ф — гравитационный потенциал, который на расстоянии г от центра сферического тела массы M имеет вид
(3.4.4)
Сравнивая (3.4.2) с (3.4.3), приходим к заключению, что
A00 = —2 ф + const.
Кроме того, на больших расстояниях система координат должна переходить в систему Минковского, так что A00 исчезает на бесконечности, а если мы потребуем, чтобы и ф исчезало на бесконечности [как (3.4.4)], то константа здесь будет равняться нулю. Таким образом, A00 = —2ф, и, возвращаясь к метрике (3.4.1), получаем
Soo = -(1 + 2 ф). (3.4.5)
Гравитационный потенциал имеет порядок IO-39 на поверхности протона, IO-9 — на поверхности Земли, IO"8 — на поверхности Солнца и IO"4 — на поверхности звезды типа белый карлик. Отсюда следует, что искривление в g?V, вызываемое гравитацией, вообще говоря, очень невелико. (В системе СГС ф имеет размерность квадрата скорости; в наших единицах ф соответствует значению в единицах СГС, деленному на квадрат скорости света в единицах СГС.)
