Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
локально-инерциальные координаты ^a определены с точностью до порядка (х — X)2, если опустить сложности определения постоянных аа и Ьах- Величины Ьах определяются уравнением (3.2.13) с точностью до лоренцевого преобразования ^km. так что неоднозначность решения Ia (х) отражает как раз тот факт, что если (х) являются локалыю-инерциальными координатами, то ими же будут и A^P + са. Следовательно, поскольку Г*, и определяют локально-инерциальные координаты с точностью до неоднородных преобразований Лоренца и поскольку гравитационное поле не может приводить к каким-либо эффектам в локально-инерциальной системе координат, то нет ничего удивительного в выводе, что все эффекты гравитации содержатся в F^v и ^liv. Заметим, однако, что (3.2.12) удовлетворяет (3.2.11) только в точке X = X", для того чтобы найти решения (3.2.11) для всех х, необходимо, чтобы производные аффинной связности удовлетворяли некоторым условиям симметрии, которые будут обсуждаться в гл. 5.
§ 3. Связь между ^v и Г Jvu,
Наше рассмотрение свободно падающих частиц показало, что поля, определяющие гравитационную силу, выражаются через «аффинную связность» F^v, в то время как интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в двух бесконечно близко расположенных пространственных точках, определяется «метрическим тензором» ^uv. Покажем теперь, что g?V является также гравитационным потенциалом, т. е. его производные задают поле F^v.
Прежде всего вспомним, что метрический тензор определяется Выражением (3.2.7)
~дх» дх^'
Дифференцирование по хх приводит к результату
dgur _ д*1а дdla д
дхх ~ дх^дх» dxv 11013 дх» дх^дх* ^•88
Гл. 3. Принцип эквивалентности
Используя теперь (3.2.11), получаем
дхк
Подставляя сюда (3.2.7), снова находим, что
—Y = r^^pv -f r^v^pn-
dg-nv
(3.3.1)
Прежде чем разрешить это соотношение относительно Г, необходимо указать на некую тонкость в выводе соотношения (3.3.1), которая скрывалась за слишком компактными обозначениями. Когда мы выбираем локально-инерциальную систему координат Iа (X), мы привязываем ее к определенной точке X, и координаты, локалыю-инерциальные в X, в действительности должны обозначаться как Тогда уравнения (3.2.7) и (3.2.11) следует записать точнее:
Если мы продифференцируем (3.3.2) по Xх-, то получим члены двух разных типов. Первые возникают, когда мы полагаем х = X; эти члены состоят лишь из вторых производных (3.3.3) и их легко вычислить, как и прежде. Второго типа члены возникают, поскольку Qx (х) имеет индекс X. Эти члены включают производные, подобные
Оказывается, что последние не имеют ничего общего с метрикой или аффинной связностью. Для того чтобы справиться с членами второго типа, необходимо более четко определить, что подразумевается под словами «локалыю-инерциальные» в формулировке принципа эквивалентности. В гл. 5 мы увидим, что первые производные метрического тензора могут быть измерены путем сравнения скоростей хода идентичных часов, расположенных бесконечно близко друг от друга. Тогда принцип эквивалентности можно понимать в том смысле, что локалъно-инерциалъные координаты которые мы вводим в данной точке X, могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора в точке X исчезают. В системе координат Е™ метрический тензор в точке X'
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)§ 3. Связь между и Tjiv
89
задается выражением (3.3.2) в виде
gX jY'\ дfx-(г) „ \
\ д\\ (х) дІ°х (х) I Х==х,
и наша новая интерпретация принципа эквивалентности говорит о том, что данная величина становится стационарной по X', когда X' совпадает с X. Для того чтобы Hcnonb1SoBaTb эту информацию, введем произвольную «лабораторную» систему координат ха и запишем
х=Х'
дЦН &%6(х)
' х=Х'
'^6v ' \ дх» dxv
Продифференцировав это выражение по X1 и положив X'= X, находим [ввиду стационарности g*6 (X')] следующее соотношение:
^uv(X) У /v J д \ дЦ(х) діьх(х)
/ а у Si6x [X) \\ __
Varx-1 дх» dxv )}х=х~
ЩП ^i6x(X) дЦ(х) _%в lebete»* dxv + дх» dxxdxv jx=x'
Никаких производных, подобных (3.3.4), теперь не возникает, и можно использовать (3.3.2) и (3.3.3), как и прежде, чтобы показать справедливость соотношения
i^P = It, (X) gpv (X)+nv (X) gm (X),
совпадающего по форме с (3.3.1).
Возвратимся теперь к нашим предыдущим компактным обозначениям и найдем с помощью этих соотношений аффинную связность. Прибавим к (3.3.1) аналогичное соотношение с переставленными индексами fx и X и вычтем аналогичное соотношение с переставленными v и к. В результате получим
dJv1 S^ ^
Sx'- + дх» - dxv ~ gKV ^ + ^v +
¦•f ^kv + g^J'tv — gy:>X'v\x — gnvX"v>, = 2^?. (3.3.5)
(Напомним, что Tjiv и giiv симметричны при перестановке [а и v.) Определим матрицу gv<y как обратную к gva, т. е.
^xv = 62- (3.3.6)•90
Гл. 3. Принцип эквивалентности
Умножив предыдущее выражение на gva, в результате получим
Следует отметить, что (3.2.7) действительно обеспечивает существование обратного тензора, равного
= = (3.3.8)