Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
fa? = — O?a-
(2.12.8) 74
Гл. 2. Специальная теория относительности
Например, для тензорного представления (2.12.3) и (2.12.4) имеем Mv6==SJ11B6-SpvTla6j (2.12.9)
[Oa|}]v6E° = "HaAsSb6 — I1PvSa8Ss0 + IIa6SpsS87 — Tlp6SasSf7. (2.12.10)
Матрицы сгар не могут быть произвольными по тоянными матрицами, а должны быть такими, чтобы матрица D (A) удовлетворяла групповому правилу умножения (2.12.2). Применим прежде всего это правило к произведению Л [1 -j- со] Л-1:
D (Л) D (1 + со) D (Л"1) = D (1 + Ли Л-1).
В нулевом порядке по со это есть просто тождество 1 = 1, но уже в первом порядке, приравнивая коэффициенты при ©а|3 с обеих сторон, получаем
D (Л) oa?D (Л-1) = 07бЛ7аЛ6р. (2.12.11)
Если положить теперь Л = 1 + ©, Л-1 = 1 — со (причем со совсем не обязательно должно быть здесь тем же самым), то в первом порядке по со выполнение этого условия требует, чтобы a удовлетворяло коммутационным соотношениям
[°a?> o-?6] = rivpoa6 —T]vaa?o + ri6p07a —Jl6aO7P, (2.12.12) где квадратные скобки означают обычный коммутатор матриц
[и, v\ == UV — VU.
Читатель может легко проверить, что матрицы (2.12.9) и (2.12.10) удовлетворяют соотношению (2.12.12).
Этим коммутационным соотношениям можно придать несколько более простую форму, если ввести новые матрицы: _ \ \
aI = -Tj- 1-"? +orIoL = y [ — ^23 — O10],
1 1
«2 = -2"[ —^31 + ?]. = -g- t — ior31 — CT20], (2.12.13)
1 1
a3 = -j- [ — ісг12Н- C30], b3 = -у [ — JC12 — C30].
Тогда уравнение (2.12.12) примет вид:
а X а = іа, (2.12.14)
b X b = ib, (2.12.15)
Iai, bj] = 0. (2.12.16)
Формулы (2.12.14) — (2.12.16) —просто коммутационные соотношения для пары независимых матриц углового момента. Правила построения таких матриц можно найти в любом учебнике по нерелятивистской квантовой механике (см., например, [17]). § 12. Представления группы Лоренца
75
В самом общем случае матрицы а и b являются прямой суммой «неприводимых» компонент, причем каждая матрица характеризуется целым или полуцелым числом А или В, т. е.
а2 = А {А + 1), Ь2 = В (В + 1) (2.12.17)
а размерность матриц равна 24 + 1 и 2В + 1 соответственно. Следовательно, наиболее общие величины"^, трансформирующиеся линейно при инфинитезимальных однородных преобразованиях Лоренца, можно разложить на «неприводимые» части, характеризуемые парой целых и (или) полуцелых чисел (А, В), причем каждая из неприводимых частей имеет (2А + 1) (2В + 1) компонент.
Непосредственные вычисления показывают, что контравариант-ное векторное представление (2.12.9), так же как и соответствующий ему ковариант, характеризуется A=B = V2. Любое тензорное представление вида (2.12.10) можно рассматривать как прямое произведение векторных представлений, и поэтому оно состоит только из неприводимых компонент, для которых А + В есть целое число. Например, общее тензорное представление (2.12.10) для тензора второго ранга будет состоять из неприводимых компонент, для которых пара чисел (А, В) принимает значения (1, 1), (1, 0), (0, 1) и (0, 0). Представление, у которого А + В — полуцелое, полностью отличается от тензорного и называется спинорным представлением. Простейшим примером такого представления служит дираковское представление поля электрона, состоящее из компонент (V2, 0) и (0, V2).
Трансформационные свойства любого объекта при обычных пространственных вращениях определяются его поведением относительно инфинитезимальных преобразований Лоренца (2.12.5), у которых COj0 = 0 и, следовательно, определяется структурой чисто пространственных компонент а12, O23, O31 матрицы Из этих компонент можно построить векторную матрицу
S = a + b = — і {о23, о31, о12}, (2.12.18)
которая, согласно (2.12.14) — (2.12.16), будет иметь те же коммутационные соотношения, что и угловой момент
S X S = is. (2.12.19)
Любое неприводимое представление (А, В) однородной группы Лоренца можно разложить [17] на составляющие, для каждой из которых величина S2 равна s (s + 1), где s — целое или полуцелое число, лежащее между | А—В | и AjrB. Каждая составляющая описывает возбуждение (например, частицу) со спинохч s. Далее из (2.12.18) вытекает, что тензорные представления могут описывать только возбуждения с целым спином, а спинорные представления — только с полуцелым спином. 76
Гл. 2. Специальная теория относительности
Конечное преобразование Лоренца можно построить, перемножая бесконечное число инфинитезимальных лоренцевых преобразований. Таким образом, тензорное представление инфинитези-мальной группы Лоренца можно использовать для построения тензорного представления вида (2.12.3) и (2.12.4) группы конечных лоренцевых преобразований. Однако если попытаться построить, спинорное представление конечных преобразований Лоренца, то мы обнаружим, что можно получить «представление только с точностью до знака» 118], т. е. групповой закон умножения (2.12.2) будет иногда иметь с правой стороны знак минус. Например, произведение двух последовательных вращений на 180° вокруг любой заданной оси приводит к единичной матрице, но не со знаком плюс, а со знаком минус. Появление этого минуса означает, что спинорные поля сами по себе физически не наблюдаемы, хотя четные функции от спинорных полей вполне наблюдаемы.
