Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
В итоге уравнение (2.10.19) приобретает вид
° = + ^ + (2-10.30)
а выражая р через п и р с помощью (2.10.27), можно переписать аналогичным образом и уравнение (2.10.16). Пропорциональность между внутренней энергией и давлением, следующая из уравнения (2.10.27), в действительности имеет место при различных значениях у для класса жидкостей, намного более широкого, чем рассмотренный здесь холодный газ, состоящий из точечных частиц. Для всех этих жидкостей уравнение энергии может быть записано в форме (2.10.30).
5—0788 66
Гл. 2. Специальная теория относительности
Вычислим в качестве примера скорость звука в статической однородной релятивистской жидкости. В невозмущенном состоянии величины п, р, р и о постоянны в пространстве и во времени, а V = 0. Звуковые волны порождают малые отклонения R1, р1(. P1 и v1 от п, р, р и v; остается неизменным, согласно (2.10.19), лишь 0.
В первом порядке по малым величинам уравнения (2.10.15) и (2.10.16) запишутся в виде
^ + ,V-V1 = O, ^v1 V Pi
dt р+р •
Но при (Jo = O уравнение (2.10.18) приводит к соотношению
-^i»i + Pi = 0.
так что
где
UIl— yjVn 1
dt п
Vl^lL=(IL) (2.10.31)
P1 Wp/ O=COiist 4 '
Объединяя уравнения для щ и v1, получаем волновое уравнение
<Э2
из которого следует, что звуковые волны перемещаются со скоростью Vs точно так же, как и в нерелятивистской жидкости. В нерелятивистской жидкости скорость звука много меньше скорости света (равной единице), но она увеличивается с повышением температуры, так что представляет интерес проверить, будет ли для жидкости, состоящей из предельно-релятивистских частиц, такой, как водород при температуре >> IO13 К, скорость Vs превышать единицу. Для этой жидкости выражения (2.10.26) и (2.10.31) дают следующее значение скорости звука:
vs = (2.10.32)
которое все еще существенно меньше единицы. Этот результат справедлив и с учетом электромагнитных сил, так как уравнения (2.10.7) и (2.8.9) налагают на электромагнитное давление рш и плотность энергии рэм соотношение
T1EM а = Зрэм — Рэм = 0 (2.10.33) § 11. Релятивистская реальная жидкость
67
jj следовательно, введение pSM и рэм не нарушает справедливости соотношений (2.10.26) или (2.10.32). Вопрос о том, останется ли и, меньше единицы при учете неэлектромагнитных сил [7], остается открытым.
§ 11. Релятивистская реальная жидкость *
Предыдущий параграф был посвящен изучению идеальной жидкости, в которой средние длины свободного пробега и времена столкновений были настолько малы, что вокруг любой точки движущейся жидкости сохранялась идеальная изотропия. На практике мы часто имеем дело с далеко не идеальными жидкостями, в которых давление, плотность или скорость значительно меняются на расстояниях порядка длины свободного пробега, или за промежутки времени столкновений, или на обоих интервалах одновременно. В таких жидкостях тепловое равновесие не сохраняется строго и кинетическая энергия жидкости рассеивается в виде тепла.
При корректном рассмотрении диссипативных процессов в релятивистских жидкостях возникают некоторые тонкие принципиальные вопросы, которые не возникают в нерелятивистском случае. В связи с этим, а также из-за того, что диссипация приобретает все возрастающее значение в современной теории ранней эволюции Вселенной (см. § 8, 10 и 11 гл. 15), стоит потрудиться и обрисовать контуры общей теории релятивистских реальных жидкостей.
Предположим, что в реальной жидкости слабые пространственные и временные градиенты приводят к изменению тензора энергии-импульса и вектора тока частиц на AJaP и ANa, являющиеся величинами первого порядка по этим градиентам. Тогда вместо (2.10.7) и (2.10.13) возникают соотношения
Ta^ = PrfV+ (р + р) UaUV.+ ATafi (2.11.1)
Na = TiUa + ANa (2.11.2)
Как только мы вводим такие поправочные члены, определения Давления р, плотности энергии р, плотности числа частиц п и скорости жидкости Ua становятся несколько неопределенными.
Обычно определяют р и п как плотность полной энергии и плотность числа частиц в сопутствующей системе отсчета:
T00 = р, (2.11.3)
N0 == п, (2.11.4)
*) Этот и два последующих параграфа лежат несколько в стороне от основной линии изложения и при первом чтении могут быть опущены.
5* 68
Гл. 2. Специальная теория относительности
причем соответствующая система характеризуется условием, требующим, чтобы в заданной точке 4-вектор скорости был равен
Ui = 0, U0 = 1. (2.11.5)
Кроме того, давление р в общем случае задается той же функцией от р и п [скажем, (2.10.27)], что и в том случае, когда все градиенты в жидкости пренебрежимо малы и диссипация отсутствует. И наконец, в случае нерелятивистской жидкости необходимо знать, будет ли Ua скоростью переноса энергии или переноса частиц. У Ландау и Лифшица [8] Ua принято за скорость переноса энергии; тогда в движущейся системе T10 исчезает. У Эккарта [9] Ua есть скорость переноса частиц, поэтому в сопутствующей системе исчезает величина N1. Оба подхода совершенно эквивалентны, однако подход Эккарта кажется несколько более удобным, и в дальнейшем мы будем его придерживаться.
