Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
59
если использовать (2.6.4), получим
J-Ta\x) = F\(x)P(x). (2.8.8)
Такой тензор не сохраняется, но можно построить сохраняющийся тензор, добавив чисто электромагнитный член, имеющий вид:
T^ FayF^(2.8.9)
Следовательно, плотности электромагнитной энергии и импульса задаются следующим образом:
rS2=4(E» + W)t C = (ExB)1. (2.8.10)
Заметим, что
-JL ^ = П^ + ^V -^r7-I Fv6-A- FVl
[Здесь djdxa = Tf36P (д/д^Р).] Небольшая перегруппировка индексов приводит к следующему выражению:
Используя уравнения Максвелла (2.7.6) и (2.7.10), получаем
JL-TaI=-FayJ**. (2.8.11)
Сравнивая теперь (2.8.8) с (2.8.11), приходим к следующему переопределению тензора энергии-импульса:
ГР= S Pn^T 63 (X~Xn W) + <2-8-12)
п
Этот тензор по-прежнему симметричен, но теперь он сохраняется:
OaTafi = 0. (2.8.13)
Можно прибавлять к тензору Та& все новые и новые члены, вводя другие поля, но оставляя тензор TaP сохраняющимся. Систематический метод построения таких членов описан в гл. 12.
Интеграл от плотности заряда J0 есть как раз полный заряд, а интеграл от плотности Ta0 импульса ра — полный импульс
•РпоЛН'
Коли= J ^a0 (*• о • (2.8.14)
То, что это сохраняющийся 4-вектор, можно показать таким же образом, как мы показали в §6, что полный заряд (2.6.7) является сохраняющимся скаляром. 60
Гл. 2. Специальная теория относительности
§ 9. Спин
Тензор энергии-импульса Та$ можно использовать для определения углового момента и спина. Рассмотрим изолированную систему, для которой полный тензор энергии-импульса Та$ сохраняется:
d y?v __ Q
дх"*
Можно с помощью тензора T построить другой тензор
Ma^ ^ хаТ^у- (2.9.1)
Поскольку T симметричен и сохраняется, M будет также сохраняться:
M^ = Tfa-TaV = O. (2.9.2)
дхV
Построим теперь полный угловой момент:
Zccl3= j d3xM0afi = - Jfta. (2.9.3)
Следуя аргументам, приведенным в предыдущем параграфе, мы найдем из (2.9.2), что JaP является тензором, сохраняющимся во времени. Заметим далее, что
Ji' = j Ci3X(XiP0-XjTi0)1
и, так как Ti0 есть плотность j-й компоненты импульса, можно рассматривать J23, J31 и J12 как 1-ю, 2-ю и 3-ю компоненты углового момента. Другие компоненты JaP выглядят следующим образом:
Joi =tp; - j XiT00Cl3X.
Эти компоненты не имеют явного физического смысла, и фактически их можно исключить, фиксируя при t = 0 начало координат
в «центре энергии», т. е. полагая, что при t = 0 момент j xlT00 <Рх
равен нулю. Хотя относительно однородных преобразований Лоренца ха —у AaJ3,*:!3 полный угловой момент является тензором, при трансляциях ха х'а = Xа + аа он ведет себя необычно. Действительно, из (2.9.3) и (2.8.13) следует, что
/ap^/'aWap + a V-аУ6. (2.9.4)
Такое преобразование возникает, конечно, из-за того, что /aP содержит орбитальный угловой момент, задаваемый всегда относи- § 10. Релятивистская гидродинамика
61
тельно центра вращения. Для того чтобы выделить в /aP внутреннюю часть, удобно следующим образом определить 4-вектор спина-.
5aSi-ea?v6/?vC/6, (2.9.5)
где єа|з7б — полностью антисимметричный тензор, введенный в § 5, л Ua= ра/( — РаР^)1>2 есть 4-вектор скорости системы. Из-за антисимметричности ea|3Y6 трансляция ха -\-аа, изменяющая Zpv по правилу (2.9.4), оставляет Sa неизменным. Кроме того, Sa с очевидностью является вектором и для свободных частиц сохраняется
-^jp- = O. (2.9.6)
В заключение отметим, что в системе центра масс частиц имеем U1 = 0 и U0 = 1, а потому в этой системе
S1 = Л \ S2 = J31, S3 = JU, S0 = 0. (2.9.7)
Это дает нам право рассматривать Sa как внутренний угловой момент системы. Если даже скорость U отлична от нуля, Sa имеет в действительности только три независимые компоненты, гак как (2.9.5) дает
UaSa = 0. (2.9.8)
Эти свойства Sa мы используем позже при обсуждении прецессии гироскопа в свободном падении.
§ 10. Релятивистская гидродинамика
Многие физические системы, включая, вероятно, саму Вселенную, можно рассматривать приближенно как идеальную несжимаемую жидкость. Идеальная жидкость имеет в каждой точке какую-то скорость V, причем по определению наблюдатель, движущийся с этой скоростью, воспринимает жидкость как изотропную. Это осуществляется в том случае, когда средняя длина свободного пробега частиц между столкновениями меньше линейного масштаба используемого наблюдателем. (Например, звуковые волны распространяются в воздухе, если их длина волны велика по сравнению со средней длиной свободного пробега. Однако при очень коротких длинах волн важную роль начинает играть вязкость, и воздух уже нельзя считать идеальной средой.) Сформулируем приведенное выше определение идеальной жидкости с помощью тензора энергии-импульса.
Предположим, что вначале мы находимся в такой системе отсчета (будем отмечать ее знаком «тильда»), в которой рассмат- 62
Гл. 2. Специальная теория относительности
риваемая жидкость покоится в какой-то заданной области пространства и времени. Из описанных свойств идеальной жидкости следует, что в этой пространственно-временной области тензор энергии-импульса имеет сферически симметричный вид:
