Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Q = Yien
п
и является, конечно, скалярной константой. Однако, если иметь дело с распределениями заряда и тока протяженных частиц, важно отчетливо понимать, что (2.6.7) вводит не зависящий от времени скаляр для любого сохраняющегося 4-вектора /".]
§ 7. Электродинамика
Уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей
Е. В, создаваемых заданной плотностью заряда є и плотностью тока J, имеют вид:
Т-Б = е, (2.7.1)
V X B = ^g- +J, (2.7.2)
V-B = O, (2.7.3)
V-E= --?-. (2.7.4)
Для того чтобы исследовать свойства E и В при лоренц-преобра-зованиях, введем матрицу Fa^ следующим образом:
F12 = B3, Fzz = Bl, F3i = B2
F01 = E1, F02 = E2, F03 = E3, 1 ' "j
_^?a
Ioiда (2.7.1) и (2.7.2) можно переписать в виде (напомним, что
д
-Fafi=-J*, (2.7.6)
дха v '
в
то время как (2.7.3) и (2.7.4) запишутся так:
ea?v6_l_Fv6 = 0, (2.7.7)
где ga?v6_символ Леви-Чивита, определенный в § 5 гл. 2, а f'\,& — ковариант, определяемый обычным образом:
^v8 ^ TlvaTlepi5ep. 56
Гл. 2. Специальная теория относительности
Так как Ja — 4-вектор, можно сделать вывод, что Fap есть тензор:
Zocp = AavAp6jFv6. (2.7.8)
Действительно, если Fa$ является решением (2.7.6) и (2.7.7), то (2.7.8) будет решением в любой лоренц-преобразованной системе координат. Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, определяется так:
= (2.7.9)
В том, что эта формула правильная, можно убедиться, повторяя аргументы, приведенные в § 3. Выражение (2.7.9) справедливо в той системе отсчета, в которой покоится частица, так как в этой системе f = еЕ, /° = 0. Оно преобразуется как 4-вектор, а поэтому справедливо для всех скоростей. Отметим, кстати, что (2.7.9) и (2.4.2) дают
-g. = e[E + vxB],
и, следовательно, формула для магнитной силы возникает как следствие специальной теории относительности.
Существует удобная альтернативная форма однородного урав нения (2.7.7), а именно
+ = (2JA0)
Отметим, что, если все индексы a, ?, у различны, уравнение (2.7.10) совпадает с (2.7Л). Например, при а = 0 уравнение (2.7.7) дает тот же результат, что и уравнение (2.7.10) при a?y = 12 3. Далее при двух равных индексах уравнение (2.7.10) обращается в тождество, например, при ? = у (2.7.10) приобретает вид
•j-jj" -^Pa + -^-jf Fa? — 0 (без суммирования)
и выполняется тождественно, поскольку Faf> = -Fsia. Уравнение (2.7.7) позволяет представить Fv6 как ротор 4-вектора Av:
(см. §11 гл. 4).
Можно ввести в Ay член <3vcp, не изменяя Fy6, так как Av может быть определено таким образом, чтобы
OctAa = 0. (2.7.12)
Если учесть (2.7.11) и (2.7.12), то остальные уравнения Максвелла сводятся к уравнению
O2Aa=-J*. (2.7.13) § 8. Тензор энергии-импульса
57
$ 8. Тензор энергии-импульса
В § 5 мы ввели плотность электрического заряда є и тока J. Сейчас аналогичным образом мы дадим определение заряда и тока 4-вектора энергии-импульса ра. Рассмотрим сначала систему п частиц с 4-вектором энергии-импульса. (t). Плотность ра определяется следующим образом:
Ta0 (x, O = sP? (0 б3 (x - xn (0), (2.8.1)
п
а ток задается в виде
Г>, S (2.8.2)
п
Эти два определения можно объединить одной формулой:
Гар (Z) = 2^^4/^63 (х-х„(0), (2.8.3)
п
где xn°(t) = t. Отметим, что из (2.4.10) следует
_? _ I? f^n
поэтому (2.8.3) можно записать в виде
Гр (X) = 2 63 (х~ х» W)- (2-8.4)
П
Отсюда видно, что тензор Taр симметричен:
Tafi(X) = Tsia (х). (2.8.5)
По аналогии с (2.6.5) мы можем переписать (2.8.3) еще и так: Гр (X) = 2 O4 (х-Xn (T)), (2.8.5а)
п
откуда видно, что Та$ действительно тензор, т. е. при преобразованиях Лоренца (2.1.1) ведет себя следующим образом:
Totp = AotvAfyv6.
Чтобы установить закон сохранения для Та$, потребуются весколько большие усилия. Возвращаясь к (2.8.1) и (2.8.2), мы 58
Гл. 2. Специальная теория относительности
видим, что
JL Ґ* (X, о = - 2 я (0 ¦^r1 -?Г в» (X - Xfi (0)=
п "
= -2 rtOw83(х~х» W) =
п
= r0 (X, о+2 б3 (x-xn (O)1
п
и, следовательно,
-^rp = Ga, (2.8.6)
где Ga — плотность силы.
Gcc (X, 0 ^ 2 63 (X - Xn (0) ЩР~ = 2 б3 (X - Xn (0) -J- ? (0.
Tl п
Если частицы свободны, то р™ будет постоянным, а Tap сохраняется, т. е.
Tccp(^) = O. (2.8.7)
Этот же закон справедлив, если частицы взаимодействуют только при столкновениях, строго локализованных в пространстве. В этом случае (2.8.6) дает
с п?с
где хс (<) — координаты с-го столкновения, происходящего в момент времени t, а символ п ? с означает, что мы суммируем только по частицам, участвующим в с-м столкновении. Но при каждом столкновении импульс сохраняется, поэтому величина 2 Pn (0 не зависит от времени, и, следовательно, выполняется
п?с
закон сохранения (2.8.7).
Тензор энергии-импульса (2.8.3) не сохраняется, если частицы являются объектами, испытывающими действие сил на расстоянии. Рассмотрим, например, газ, состоящий из заряженных частиц с зарядами еп. Тогда (2.8.6), (2.4.1) и (2.7.9) дают
¦р- (*) = S enF\ (X) ^f- б3 (х —х„ (0), § 8. Тензор энергии-импульса
