Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Плотности числа v, v, е+ и е~ определяются теперь распределениями Ферми (15.6.3) с нулевыми химическими потенциалами и с различными температурами: T для е± (и у) и Tv для v и v:
пе- (р) dp = пе+ (р) dp = 8яh-3p2 dp [ехр (ЩМі) і J "1 ( nv (р) dp = п- (р) dp = Anh-3P2 dp [ехр ( ЬУІ) +1 ] -1
где
Ee (р) = (р2+ т*)1'2, Ev(P) = P-
Скорости реакций (15.7.1) даются «F — ^»-теорией слабых взаимодействий х) [109], за исключением того, что принцип Паули подав-
*) См., например, [183], стр. 29. § 7. Синтез гелия
587
ляет эти скорости через множитель, равный доле всех незаполненных состояний:
^Ы-ЙО+'ГЧ1+«»^)]"'-
Итак, скорости процессов (15.7.1) (в расчете на нуклон) равны
С E IhT — Е ZhT
X(n + v-+ р + е-)=А ] dpvveE\p%[e v/ v +1]-1 [1 +е е Г1,
(15.7.2)
I (п + е+ р + V) = A j dPeE%pi [eEe'hT + I]"1 [1 + ^fvftrT1,
(15.7.3)
(п -»- P + Є" + V) = A j dpvveElE\ [1 + rV»T. [1 + TiyftY1,
(15.7.4)
X {р + е- _ п + V) e a j dpeElpl [eEe'hT+ I]"1 [1 + Tvftrv]-1,
(15.7.5)
X(p + v-+n + e+) = A j dpvVeE!pUeE^+iril + e-E'/hTr,
(15.7.6)
X(p + e~ + v^n) = A J d pvveEl pi [eVftT + I]"1 + 1Г1.
(15.7.7)
Здесь A — постоянная, равная
^=iWk. («-7.8)
где gy и gA — постоянные векторного и аксиальновекторного взаимодействия нуклонов; здесь для них приняты значения
gy = 1,418-IO-49 эрг-см3, gA = 1,18 gv (15.7.9)
Кроме того, Ee и jEv связаны соотношениями
Ee — Ev = Q при п + V — р + е~, (15.7.10)
Ev — Ee = Q при п + е+ ч+ р + V, (15.7.11)
Ev + Ee = Q при п р + е- + V, (15.7.12)
где
Q = тп _ тр = 1,293 МэВ. (15.7.13) ¦588
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Интегралы (15.7.2) — (15.7.7) берутся по тем положительным значениям pv и ре, которые допускаются соотношениями (15.7.10)— (15.7.12). Весьма удобно записать все интегралы через переменную интегрирования q, такую, что q == EvB (15.7.2), (15.7.4) и (15.7.5) и q = -Ev в (15.7.3), (15.7.6) и (15.7.7). После замены ре2 dpe на VeEe2 dEe полные вероятности п —»- р- и р n-переходов равны
X (п р) = X (п + V р + е~) + X (п + е+ р + v) +
+ K(n^p + e- + v) = A ^q*dq(l-1o^)1/2X
X (Q -f q)2 (1 + e9/h\l (1 + (15.7.14)
Я (p n) = X (p -f e~ -»- n -f- v) -f- X (p -(- V -> n + e+) +
+ X(P + e- + v^n)=Aj dqq2( 1--^_)1/2X
X + +e"*/ftTvr1(l+e(Q+e)/ftr)-1. (15.7.15)
Интегралы берутся теперь от —оо до -f-oo, исключая промежуток от —Q — те до —Q + те. Дифференциальное уравнение для Xn отношения числа нейтронов к числу всех нуклонов имеет вид
-^l = А. (п -»- Р) Xn - X (р п) (1 - Zn). (15.7.16)
Численное решение этого уравнения получено Пиблзом [187] х) и представлено в табл. 15.5. Хотя количественное поведение Xn (t) может быть установлено только численным интегрированием, основные свойства этого решения можно получить из следующих качественных соображений:
А. При кТ ^Q в (15.7.14), (15.7.15) можно положить T = = Tv, Q = 0, me = 0. Тогда скорости переходов равны
OO
X (п р) « X (р -»- п) да A j g4 dq (1 + е-з/^)"1 (1 + =
— OO
= -1-^(^=0,3610-1 (-J5J1г)5. (15.7.17)
Этот результат можно сравнить с «возрастом» t, определяемым равенствами (15.6.44) и (15.6.33):
« = 1,09 с ("Той-к")"2- (15-7-18)
Мы видим, что Xt > 10 при T 3? 3 -IO10 К, и при этих температурах доля нейтронов Xn будет определяться равновесным решением
!) См. также [1861. § 7. Синтез гелия
589
Таблица 15.5
Доля нейтронов Xn как функция температуры или времени (без учета образования сложиых ядер) *
Т, к
1012 3-Ю" 10" 3-IOio IOto 3-109 1,3-109 1,2-109 1,1-109 1,0-109 9-108 8-108 7-108 3-108 108
Ї, с
0
0,001129 0,01078 0,1209 1,103 13,83 98 а 119а 146 а 182,0 226 а 290 а 383 а 2080 18700
0,496 0,488 0,462 0,380 0,241 0,170 0,150 0,147 0,143 0,137 0,131 0,123 0,112 0,021 10-8
* Значення t взяты из работы [187]. Исключение составляют значения, помеченные буквой «а», которые интерполированы по результатам Пиблза. Значения Xn при T ^ I1UX X109 К взяты из той же работы [187], a Xjl при T < 109 К вычислены по значению Xjl при T — 109 к в предположении, что Xn убывает экспоненциально со скоростью распада свободного нейтрона (1013 о)-1.
уравнения (15.7.16), которое имеет вид
Заметим, что выражение (15.7.17) не будет количественно точным, когда T спадет до 3-Ю10 К, поскольку тогда кТ ненамного больше, чем Q. Однако, несмотря на то что скорости к (р —»- п) и к(п-+р) могут несколько отличаться от (15.7.17) и одна от другой, все же они при T > 3 -1010 К еще достаточно велики, чтобы использование равновесного решения (15.7.19) было оправданным.
Б. Пока Tv a T (т. е. при T > IO10 К), отношение вероятностей (15.7.14), (15.7.15) равно ¦590
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Таким образом, формула (15.7.19) определяет содержание нейтронов при T > 3 -IO10 К как
Zn да [1 + е^Щ-1. (15.7.21)
Исходное содержание нейтронов в очень ранние периоды было равно Xn да V2 и затем, медленно уменьшаясь по мере падения температуры, достигло значения Xn да 0,38 при T = 3-Ю10 К. Исключительно важное значение имеет тот факт, что начальное условие для уравнения (15.7.16) не может быть выбрано произвольным образом и не зависит от каких-либо деталей модели очень ранней Вселенной, а следует непосредственно из сингулярного поведения скоростей X при t —0 [209].
