Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Tiet = T1vkT16xAxeAxSv6 = = T1kxAxeA^
а потому T1aP является контравариантным тензором. (Напомним, что Tlal3 и T1aP численно совпадают, следовательно, это матрица, которая может быть и ковариантной и контравариантной.) Можно построить смешанный тензор, опуская один индекс у t1aP или поднимая один индекс у tlap; это даст нам символ Кронекера
sa av„
б р=Л ЧрР-
To, что это действительно тензор, следует из правил Б и В и из того факта, что T1aV и Tlvp — тензоры.
4* 52
Гл. 2. Специальная теория относительности
2. Тензор Леви-Чивита. Это величина EccPvei определяемая следующим образом:
+ 1, если индексы а, ?, у, б составляют четную перестановку 0123, e"Pv6 = —1, если индексы а, ?, у, б составляют не- (2.5.13) четную перестановку 0123, 0 в остальных случаях.
Заметим, что справедливо соотношение
AcceAp5Av4AV^ ~ ea?v6,
так как левая часть его должна быть нечетной при любой однократной перестановке индексов офуб. Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, положим a?y6 = 0123. Тогда левая часть рассматриваемого соотношения есть просто детерминант А, который при собственных преобразованиях Лоренца равен единице (см. § 1 гл. 2). Таким образом, коэффициент пропорциональности равен единице, т. е.
AasApsAvxA Vх = Sapv6, (2.5.14)
и. следовательно, EccPv6 — действительно тензор.
3. Нулевой тензор. Такой тензор можно определить как объект с произвольным числом верхних и нижних индексов, у которого все компоненты равны нулю.
Поскольку т]аР и ті„(з являются тензорами, их можно использовать, чтобы поднимать или опускать индексы у произвольного тензора; из правил Б и В вытекает, что это дает нам новый тензор, у которого становится на один верхний или нижний индекс больше к соответственно на один нижний или верхний индекс меньше. Например, если T1apv — тензор, то таким новым тензором будет
Ta V = 1I p^aPv
В частности, у тензора Леви-Чивита eaPv6 можно опустить вниз некоторые или все индексы. Опустив все индексы, получаем то же численное значение, но со знаком минус:
eaM=-eCCpvo- (2.5.15)
Польза этого алгебраического подхода заключается в том, что мы можем по виду уравнения моментально определить, является ли оно лоренц-инвариантным. Фундаментальная теорема утверждает, что если два тензора с одинаковыми верхними и нижними индексами равны в одной системе координат, то они равны в любой другой системе координат, связанной с первой преобразованием § 6, Токи и плотности
53
Лоренца. Например, если Ta? = Sap, то
= AayAp Tyр = AayAfi6Sy6 = S\
Частный случай этой теоремы — утверждение, что нулевой тензор лоренц-инвариантен. Формализм, приведенный в общих чертах в этом параграфе, есть не что иное, как описание представлений однородной группы Лоренца. Мы займёмся исследованием этих представлений в более общем виде в § 12 гл. 2.
§ 6. Токи и плотности
Пусть у нас есть система частиц с зарядами еп, а их положение задается радиусами-векторами xn (t). Ток и плотность зарядов, как обычно, определим следующим образом:
1(х,0^2епб3(х-х„(0)т, (2.6.1)
п
8(х, г) = 2в„68 (х-Xn(O). (2.6.2)
п
Здесь б3 — дельта-функция Дирака, определяемая с помощью условия, что для любой гладкой функции / (х) должно выполняться условие
J d*xf(x) б3 (х- у) = /(у).
Мы можем объединить J и є в 4-вектор Ja1 положив
J0 = E, (2.6.3)
т. е.
Г(х)^^епЬЦх-хп(1))Щ^. (2.6.4)
п
Для того чтобы показать, что это действительно 4-вектор, зададим x°n(t) = t и запишем (2.6.4) в виде
Ja(X)= jdt'% епбНх-хп(і'))ЦР-.
п
Дифференциалы dt' сокращаются, поэтому их можно заменить инвариантами dx:
Ja (х) = j dx 2 *пб4 (х - хп (X)) . (2.6.5)
п
Ho б4 (х — Xn (т)) єсть скаляр (так как DetA=I), а — 4-вектор, следовательно, и Ja является 4-вектором. 54
Гл. 2. Специальная теория относительности
Отметим также, что
п
п п
= -Zen-If V (Х-Xn (t)) =
п
= -4е(х' о,
или в четырехмерной записи
^Ja(X) = O. (2.6.6)
Лоренц-инвариантность этого уравнения очевидна. Если ток Ja (X) удовлетворяет инвариантному закону сохранения (2.6.6), можно построить полный заряд
Q = j d3xJ° (х). (2.6.7)
Эта величина не зависит от времени, так как (2.6.6) и теорема Гаусса приводят к результату
= j d*z J0 (X) = - j d*xV • J (X) = 0.
Если Ja (x) есть 4-вектор, то Q является не только константой, но и скаляром. Для того чтобы убедиться в этом, запишем Q в виде
Q = j d*xJa (х) даЄ (щхР), (2.6.8)
где 6 — функция Хэвисайда (ступенька):
6(,)-/1 S>0' W !О s<0,
а п% задается следующим образом:
щ = = 0, п0 = + 1.
Тогда преобразование Лоренца величины Q сводится, очевидно, просто к замене в ней п-+-п':
Q' = J dkxJa(x)daQ (щхР), "із =
Если же использовать (2.6.6), изменение Q выражается так: Q'-Q= j d^xda [Ja (х) {Є (пр.rP) - Є (гара^)}]. § 7. Электродинамика
55
Можно считать, что ток Ja (х) исчезает при | х | —>- оо и фиксированном t, в то время как функция 0 [щх$) — 0 обращается в нуль, если I t I оо, а | х | фиксировано. Следовательно, можно воспользоваться четырехмерной теоремой Гаусса и показать, что Q' — Q = 0, т. е. Q есть скаляр. [Для плотности тока J0, определяемой с помощью (2.6.2), заряд (2.6.7) задается в виде
