Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
вещества убывала по закону
Т <15-5-8>
с постоянной А. В этом случае первый множитель подынтегрального выражения в (15.5.3) можно вынести за знак интегрирования и таким образом получить формулу излучения черного тела (15.5.4) независимо от, того, насколько постепенным был переход от непроницаемой к прозрачной Вселенной. Далее, приняв Z0 в (15.5.3) за произвольный момент времени Z, мы видим, что выражение для р?0 записывается в виде формулы для излучения черного тела
/ .а л 8nh\3dv ,,
Pv = [ехр -U ' <15-5'9)
причем 44
Ty(t)= -ЇЩ (15.5.10)
во все времена — после, во время и до увеличения прозрачности. Конечно, не удивительно, что в период, когда излучение находится в равновесии с веществом, оно описывается формулой для черного тела, и естественно, что его температура (15.5.10) равна в этот период температуре вещества. Замечательно здесь то, что излучение продолжает подчиняться формуле для излучения черного тела (15.5.9) с температурой (15.5.10) как в течение всего периода перехода от низкой к высокой прозрачности, так и после этого перехода, вплоть до настоящего времени. Постоянную А можно определить, положив в (15.5.8) Z = Z0, и, следовательно, температура излучения во все времена равна
(15.5.11)
а температура вещества совпадает с ней в период теплового равновесия:
Т® [WJ- (15-5Л2)
Ту (Z) — Tvо [ж] '
35—0788 ¦546
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Таким образом, нынешняя температура излучения 1 определяет температурную историю ранней Вселенной в течение всего периода, когда величина TR была постоянной.
Чтобы посмотреть, в какие периоды вероятно постоянство TR, рассмотрим модель, представляющую собой идеальный газ в равновесии с излучением черного тела. Плотность энергии этого излучения получается интегрированием (15.5.9) по v:
pv (0 = а?у (О,
где (в единицах СГС)
a = 8^t fcc3 = 7,5641 • IO-15 эрг • см-3 • град"4.
Следовательно, полное давление и полная плотность энергии в этой модели равны
р = пкТ+ ^aTi,
р = пт + (у — I)"1 пкТ J- аТ\
где п — плотность частиц газа, m — их масса и у — отношение удельных теплоемкостей газа, равное 5Z3 для одноатомного газа, вроде атомарного водорода. Уравнение сохранения числа частиц можно записать в виде
nR3 = U0R03, (15.5.13)
а уравнение сохранения энергии (15.1.21) имеет теперь вид [IimRs + (у —1)"1 nkTR3 + UTiR3] = - 3пкТ№ - UTiR2. С помощью (15.5.13) и простых преобразований получим
Л. ^L
т Ж
ОЧ-1
4-(7-1)"1
(15.5.14)
ок — энтропия фотонов, приходящаяся на одну частицу газа:
(15.5.15)
3пк п (см-3) 4 '
При о 1 из (15.5.14) следует, что
T ~ R-S(V-I)5 (15.5.16)
а это совпадает с обычным соотношением между температурой и объемом при адиабатическом расширении идеального газа. С другой стороны, при O^l т0 >ке уравнение (15.5.14) дает
T ~ R-K (15.5.17)
Далее, при больших о, если вещество перестает быть в равновесии с излучением, температурная кривая вещества в конечном итоге § 5. Космический фон микроволнового излучения
547
смещается от (15.5.17) к (15.5.16). Однако при предельно больших о, пока есть хоть сколько-нибудь значительный тепловой контакт между веществом и излучением, излучение будет по-прежнему доминировать над веществом и температура вещества будет иметь желаемое поведение (15.5.8). В этом случае из соотношений (15.5.12), (15.5.13) и (15.5.15) получается, что о постоянна:
3 п0к
(15.5.18)
Отсюда, если энтропия о была когда-нибудь очень велика, то она остается очень большой все время. Тогда мы говорим, что имеем дело с горячей Вселенной. В горячей Вселенной фоновое излучение приближенно удовлетворяет соотношениям (15.5.9) и (15.5.11) во все времена, а температура вещества подчиняется равенству (15.5.12) до тех пор, пока прозрачность не становится предельно большой. Заметим, что плотность фотонов в излучении, черного тела есть интеграл от p., (v)/hv по v или
30р(3) «-Ту3 _ 0 7 aTJ
Тілі —-л--; — О, / , ,
откуда
:0,36^
п0
и, следовательно, условием того, что Вселенная горячая, является наличие большого числа фотонов на каждый протон или нейтрон в современной Вселенной. Однако все, что до сих пор рассматривалось, не позволяет вычислить значение Tvo и даже не позволяет судить о том, действительно ли Вселенная горячая.
Первая теоретическая оценка температуры излучения была основана на теории синтеза элементов, разработанной в конце 1950-х гг. Г. Гамовым с сотрудниками 1102—108]. (Более детально этот вопрос будет обсужден в § 7 этой главы.) В то время, когда температура была IO9 К (температура диссоциации дейтерия), для того чтобы 10—50% общего числа протонов и нейтронов могли слиться в ядра более тяжелых элементов, плотность нуклонов должна была равняться приблизительно IO18 см-3. Следовательно, удельная энтропия фотонов (15.5.15) в то время была равна a IO11, и в этой модели Вселенная, несомненно, горячая, а поэтому величина а должна оставаться постоянной как в период непрозрачности Вселенной, так и после него, вплоть до настоящего времени. При современной плотности барионов IO-6 см-3 масштабный фактор должен быть в (IO18ZlO-6)1'3 — IO8 раз больше теперь, чем в момент, когда T « IO9 К, так что нынешняя температура излучения должна быть равна IO-fMO9K, т. е. около
