Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Векторы и тензоры
Теперь мы переходим к электродинамике и релятивистской гидродинамике, но для удобства перехода сделаем отступление и введем сперва систему обозначений, которая сделает лоренц-преобразования физических величин более прозрачными. В гл. 4 эта система будет распространена на тензорный анализ, чтобы включить и общие координатные преобразования, но фактически для этого почти не потребуется изменений.
Мы уже ввели термин «4-вектор» для любой величины, такой, как dxa, fa или ра, которая преобразуется следующим образом:
Va^Va' = AV?. (2.5.1)
при замене системы координат:
Xа х'а = AV?- (2.5.2)
Точнее будет назвать такой вектор Vа контравариантным 4-век-тором, чтобы отличить его от кэеариантного 4-вектора Ua, который определяется как величина, преобразующаяся по следующему правилу
Ua-^Ua)= AaW^, (2.5.3)
где
Aap^ TiavTip6Av6. (2.5.4)
Матрица т^8, введенная здесь, численно та же, что и "Пре, т. е.
Прб = "П|30, (2.5.5)
но мы записываем ее с поднятыми вверх индексами в соответствии с нашим условным обозначением операции суммирования. Отметим, что
а потому Aa13 — матрица, обратная Apa, т. е.
AavAap Лаб^ЁЛбеАар, = TkVf = 6V (2.5.7)
Отсюда следует, что скалярное произведение контравариантного и ковариантного 4-векторов есть инвариант, т. е.
[/Xa = AavAVvFp = CZpVp. (2.5.8) § 5. Векторы и тензоры
49
Каждому контравариантному 4-вектору Fcc соответствует кова-риантный 4-вектор
Fa^ TbpVp, (2.5.9)
а каждому ковариантному Ua соответствует контравариантный
Ua = T1raPfZp. (2.5.10)
Заметим, что поднимание индекса у Fa дает просто Vа, а опускание индекса у Ua переводит его обратно в CZcc, т. е.
^fVp=T1otVvv=V0,
Отметим также, что в соответствии с (2.5.3) величина (2.5.9) в саком деле является ковариантным вектором, поскольку
Va = %pV'p = TlapApvFv = Tlctpt1v6ApvF6 = Aa6V6.
Аналогично величина (2.5.10) действительно является контрава-риантным вектором.
Хотя любой вектор можно записать, как в ко-, так и в контра-вариантной форме, существуют некоторые векторы, такие, как dxa, которые выглядят более естественно в контравариантном виде. Другие же, напротив, более естественны как коварианты. Примером последнего может служить градиент д/дха, подчиняющийся трансформационному правилу:
д д _ д дха дх'а ~~ дх'а дх$ '
Умножая (2.5.1) на Aav, получаем
v„
Xy = Ac
^p _ д P
а потому градиент ковариантен:
^ = (2.5.11)
Отсюда следует, во-первых, что дивергенция контравариантного вектора dValdxa есть инвариант и, во-вторых, что скалярное произведение д/дха самого на себя, называемое оператором Далам-бера,
есть также инвариант. 4-0788 50
Гл. 2. Специальная теория относительности
Многие физические величины не являются ни скалярами, ни векторами, а являются более сложными объектами, которые называются тензорами. Тензор имеет несколько контравариантных и (или) ковариантных индексов с соответствующими свойствами лоренц-преобразований по ним, например
+ = Av6AaeAp^V
Контравариантный или ковариантный вектор можно рассматривать как тензор, имеющий один индекс, а скаляр — как тензор без индексов. Существует несколько способов образования тензоров из других тензоров:
A. Линейная комбинация. Линейная комбинация тензоров с одними и теми же верхними и нижними индексами есть тензор с теми же индексами. Например, если І?" и — тензоры, а а и Ъ — скаляры, и мы зададим Гр в виде
Гр = айар + 65%,
TO TaP есть тензор, т. е.
Ta р ^ aR'a P + bS'a р = aA%A^R\ + b AayAfi6Sy6 = AavApV6-
Б. Прямое произведение. Произведение компонент двух тензоров есть тензор, верхние и нижние индексы которого состоят соответственно из всех верхних и нижних индексов двух исходных тензоров. Например, если Aaр и В"* являются тензорами
TcVWVv-
то TY есть тензор, т. е.
Т'У = А%В'У = Aa6ApeA VV-
B. Свертка. Приравняв какие-нибудь верхние и нижние индексы попарно и произведя суммирование по их значениям 0, 1, 2, 3, получим тензор, у которого этих двух индексов уже не будет. Например, если Гар vS — тензор и
Jiay __ rpa^
то Tay тоже является тензором, т. е.
ji'a'f __ у'оу ?_
= Aa6Ap8AVvW* =
= Аа6А\6\Т\.с* = = Aa6AvtTl6s. § 5. Векторы и тензоры
51
Г. Дифференцирование. Производная дідха любого тензора есть тензор, имеющий один дополнительный нижний индекс а.
Например, если T7pv — тензор и
Ti ?v_ d ^p7
а — „ п. ' дха
то Г«137 также является тензором, поскольку
71'?v_ d _
б д
= Aa6-A РеЛ\ГЕЇ =
0г1
.Ла6Л\А\Т6*-,
отметим, что порядок следования индексов существен даже в расстановке верхних и нижних индексов. Например, 1 а можєт и не совпадать с T7pa7-
Кроме скаляров, еще три особых тензора обладают тем свойством, что компоненты их одинаковы во всех координатных системах:
1. Тензор Минковского. Из определения преобразования Лоренца немедленно следует, что т)ар есть ковариантный тензор, т. е.
"Ha? = AvaA6PTb6.
Умножая это соотношение на т]аєт]К и используя (2.5.6) и (2.5.4), находим, что
