Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
^=-30-H1"2*+
+ (15.3.5)
Для любого положительного q0 возраст Вселенной обязательно меньше времени Хаббла:
*о< 4-, (15.3.6)
nO
что уже было отмечено в § 1 этой главы.
Поведение интеграла (15.3.4) удобно рассмотреть по отдельности для следующих трех случаев (фиг. 15.1):
A. Q0 > V2 (к = +1, Po > Ркр). Здесь удобно ввести угловую меру для возраста 0, определяемую равенством
I-C0s9= ( 2^o-M (15.3.7)
\ Qo I Ro
Тогда из (15.3.4) получим
H0t = q0 (2q0 - I)"3/2 (0 - sin 0). (15 3.8)
Это уравнение циклоиды; R (Z) растет, начиная с нулевого значения при 0=0, Z = O, достигает максимума при
Омане = л, tMaKc = ——— g, , R (Zm3Kc) = Т~ > (15.3.9) H0 (2д0— 1) ^o-I
затем снова убывает, обращаясь в нуль при 0 = 2л, Z = 2ZMaKC. Текущий момент времени определяется уравнением R (Z) = R0, поэтому современное значение угла 0 дается равенством
cos 0О = —--1, (15.3.10)
70
и, следовательно, возраст Вселенной равен
Z0 = Н0'\1о (2q0— 1) -3/2 [arccos (J- - 1) - ± (2q0 -1)1/2] .
(15.3.11)
Например, если мы считаем, что q0 «1 и Hn'1 = 13-Ю9 лет, то из (15.3.10) следует, что O0 «я/2, и по формуле (15.3.11)
Фиг. 15.1. Решения уравнений Эйнштейна для вселенной Робертсона — Уокера с кривизной к = 1, і = 0 и к = - 1.
Числа вдоль кривых h = ± 1 дают значения параметра замедления д0 в различные эпохи. § 3. Эра преобладания вещества
517
нынешний возраст Вселенной получается равным
(4L_ l) #^^7,5-IO9 лет, (15.3.12)
а из (15.3.9) видно, что Вселенная достигает максимального радиуса R (tMaкс) «2R0 в возрасте
tu акс пап,H0-1 « 40-IO9 лет. (15.3.13)
Весь этот жизненный цикл Вселенной занимает время 2tM3XC, т. е. около 80-IO9 лет.
Б. q0 = V2 (к = 0, P0 = Ркр)- В этом случае из уравнений (15.3.4) следует
(15.3.14)
т. е. R (t) неограниченно растет. При H0'1 a; 13 -IO9 лет нынешний возраст Вселенной равен
^0 = 4^^9-109 лет. (15.3.15)
Это так называемая модель Эйнштейна — де Ситтера.
В. 0 ¦< Q0 << V2 (к = —1, р0 < ркр). В этом случае тоже можно пользоваться равенствами (15.3.7) и (15.3.8), только угол развития 9 теперь будет мнимым:
9 = і?,
и поэтому
H0t = q0 (1 - 2g0)_3/2 (sh ? - ?), (15.3.16)
где угол T определен равенством
(15.3.17)
?о Ro v '
Так же как и в случае (Б), масштабный фактор R (t) растет неограниченно; при t —00 имеем
(i_2go)-i ^ + (i-2q0)1/2H0t. (15.3.18)
В настоящее время
ch?0 = J--1, (15.3.19)
Qo
и возраст Вселенной равен
t0 = H0-t[(l-2q0)-i-q0 (1-2<70)-3/2 Arch (LL- l)]. (15.3.20)
Если, к примеру, мы включим в плотность масс Вселенной только то, что содержится в галактиках, то, согласно (15.2.15), q0 «0,014, ¦518
Гл. 15. Космология; эталонная модель
т. е. Y0 «5, и возраст Вселенной близок к времени Хаббла
Z0 «0,96#0-1 «13-Ю9 лет. (15.3.21)
Здесь стоит упомянуть, что вообще параметр замедления . . -2
q = —RR/R меняется со временем. Для к = +1 q (Z) определяется аналогом равенства (15.3.10):
q = (1 -f cos Є)"1,
так что, когда в течение космического цикла 0 пробегает значения от 0 до 2л, q растет от V2 до оо и снова падает до V2. При к = —1 q (Z) определяется из аналога равенства (15.3.19):
q = (1 + ch ЧО"1,
и, когда Y пробегает значения от 0 до оо, q плавно спадает от V2 до 0. Лишь при к = 0 q остается постоянным: q = 112. Таким образом, можно не придавать особого смысла какому-то частному значению q0, кроме q0 = 112. Тот факт, например, что на диаграмме «фотометрическое расстояние — красное смещение» точки ложатся на прямую, означает, что g0 « 1 (если эффекты эволюции и селекции незначительны; см. § 1 гл. 14), но во Вселенной с преобладанием вещества это должно быть случайным совпадением, ибо если нынче q0 = 1, то в прошлом было <1, а в будущем будет <70 > 1 • Только во Вселенной с преобладанием излучения из того, что к •-= 0, следует q0 = 1 [см. (15.2.17)1, и поэтому параметр замедления равен единице все время.
Выведенные выше формулы для R (Z) можно использовать для распространения феноменологического анализа, проведенного в предыдущей главе, на сколь угодно большие красные смещения. Согласно (14.3.6), свет, приходящий в момент Z0 с красным смещением z, был излучен в момент, когда масштабный фактор имел значение
= (15.3.22)
Сопутствующая радиальная координата источника определяется равенствами (14.3.1), (14.3.2) и (15.3.3):
0 tl Ri ЛЛ
=тк І [^/„+^rw.
(1+2)"1 § 3. Эра преобладания вещества
519
С помощью (15.2.5) легко показать, что при всех трех возможных значениях к формула для T1 одна и та же:
Г = ^gQ + (gp — !) (—1 + V2g0z + 1) Z15 з 23)
1 H0Rogo2 (I+«) ' \ ¦• >
С учетом (15.3.22) и (15.3.23) фотометрическое расстояние, измеряемое сравнением видимой и абсолютной светимостей и определяемое формулой (14.4.14), равно
^ф = Rori (1 + z) = [zq0 +(?0-1) (—14- V2q0z + l)}.
(15.3.24)
Иногда при определении q0 кривую (z), полученную из наблюдений, сравнивают с этой точной формулой, а не с не зависящим от выбора модели приближенным выражением (14.6.8)
