Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
fa = m
d*xa
Za = Aap (v) Fp.
(2.3.4) § 4. Энергия и импульс
45
Менее формальная запись (2.3.4) с учетом того, что F0 = 0, такова: f = F + (v-l)v-^?-, (2.3.5)
/O = YvF = V f. (2.3.6)
Здесь V — мгновенное значение скорости.
Теперь, когда известно, как вычислить /а, можно использовать дифференциальное уравнение (2.3.1), чтобы найти четыре связанные переменные ха (т), а затем, исключив т, определить х (t). Однако начальные значения dxa/dx должны быть выбраны так, чтобы dx действительно было собственным временем, т. е. чтобы выполнялось условие
Отметим, что (2.3.7) будет справедливо при всех т, если оно справедливо при некотором начальном значении х, при условии, что производная (2.3.7) равна нулю, т. е.
0 = 2WaJ^-- (2.3.8)
То, что это действительно верно, можно видеть непосредственно из (2.3.4) либо более элегантным способом, замечая, что правая часть (2.3.8) лоренц-инвариантна, т. е.
dx'$ .а .В ;„ dx6 ,„ dx6
w "ЧГ =^a УЛ Vv ЧГ = r^ -^r ,
и в силу условия (2.3.2) равна нулю в той системе отсчета, в которой частица покоится.
§ 4. Энергия и импульс
Релятивистская форма второго закона Ньютона немедленно приводит к следующему определению 4-вектора энергии-импульса:
Тогда второй закон Ньютона записывается в виде
j^- = Za- (2-4.2)
Напомним, что
dx : (dt2 — dx2)1/2 := (1 — V2) 1/zdt,
где
_ dx
X==~dF' 46 Гл. 2. Специальная теория относительности
Тогда пространственные компоненты р образуют вектор импульса
р = туу, (2.4.3)
а временная компонента дает энергию
P0 = E = ту,
где
Yss ^ = C1-V2)"172-
Из этих определений следует, что при малых V
P = ту +-O(V3)1 (2.4.6)
? = /n. + -lmv2+0(v4) (2.4.7)
в соответствии с нерелятивистскими формулами, за исключением слагаемого т в Е. (Напомним, что в наших единицах 1 с равна 3-Ю10 см, а потому 1 г равен 9-Ю20 эрг.) Иногда коэффициент ту называют релятивистской массой и обозначают т, так что р = ту. Мы не будем здесь придерживаться таких обозначений; далее под т мы будем подразумевать постоянную «массу».
Почему р и E называют релятивистскими импульсом и энергией? Эти названия можно приписать чему угодно, но, чтобы понятия импульса и энергии были полезны, их нужно отнести к сохраняющимся величинам. Существенной особенностью определенных выше р и E является то, что если один наблюдатель отмечает сохранение этих величин в какой-нибудь реакции, то это же может сказать и любой другой наблюдатель в системе, связанной с первой преобразованием Лоренца. Заметим, что dxa есть 4-вектор, в та время как т и d% — инварианты. Поэтому для любой отдельной частицы ра является 4-вектором, т. е. при преобразованиях (2.1.1) импульс трансформируется следующим образом:
Pre = AV.
поскольку А зависит только от выполняемого преобразования Лоренца, то в любой реакции изменение суммы импульсов Pa-всех частиц есть также 4-вектор, т. е.
п п
(Суммирование здесь производится по всем частицам, а символ А означает разность между импульсами начального и конечного состояний.)
Сохранение р и E в первоначальной инерциальной системе
означает, что А 2 />п исчезает, так что в любой системе координат п
(2.4.4)
(2.4.5) § 4. Энергия и импульс
47
связанной с первой преобразованием Лоренца, величины р и E также будут сохраняться, т. е. А 2 Pn будет обращаться в нуль.
п
Не станем показывать здесь, что р и E являются единственными функциями скорости, сохранение которых лоренц-инвариантно [6]. Однако стоит обратить особое внимание на тот факт, что E должно сохраняться, если сохраняется р. Действительно, пусть в двух различных системах координат, связанных преобразованием Лоренца, импульс сохраняется, т. е. справедливы следующие соотношения:
д S P-. = о, a S Р; = 0.
п п
Так как Л 2 Pn есть 4-вектор, имеем
п
A S^i = AipASpP
п п
и, учитывая сохранение импульса в обеих системах координат,
получаем
O = Ai0A S Pn-
п
Но Aj с необходимостью отлично от нуля, поэтому р° = E сохраняется.
При нулевой скорости энергия E имеет конечное значение т. По этой причине мы будем иногда называть величину E — т «кинетической энергией», поскольку для малых V она приближенно равна V2mv2. Если в реакции сохраняется полная масса (как в случае упругого рассеяния), то кинетическая энергия сохраняется. Но если какое-то количество массы уничтожается (как в радиоактивном распаде, при делении или синтезе), то высвобождается большое количество кинетической энергии, важность чего хорошо известна.
Из уравнений (2.4.3) и (2.4.4) можно исключить скорость, что дает соотношение между энергией и импульсом:
E (р) = (р2 + т2)1/2. (2.4.8)
То же самое можно вывести, замечая, что из (2.4.1) и определения
dx следует
Tb?^pP= — т2.
Для фотона или нейтрино нужно положить V2 = 1 и т = 0; отсюда немедленно следуют выражения (2.4.3) и (2.4.4), а их отношение приводит к связи, справедливой для всех частиц:
(2.4.10) 48
Гл. 2. Специальная теория относительности
Отметим, что для т = О формула (2.4.8) сводится к равенству E= I р I, как и должно быть для безмассовых частиц, поскольку их скорость V — единичный вектор.
