Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
R (0) = 0. (15.1.24)
Текущий момент времени Z0 есть в таком случае время, отсчитываемое от этой сингулярности, и будет справедливо называть его
возрастом Вселенной. Если бы величина R (Z) была равна нулю при 0 < Z < Z0, то функция R (Z) в точности равнялась бы R (Z0) Z/Z0 и возраст Вселенной Z0 был бы точно равен времени
Хаббла Н~х = R (Z0)Aft (Z0). Если R (Z) < 0 при 0 < Z < Z0, возраст Вселенной должен быть меньше, чем время Хаббла:
Z0 < H0-K (15.1.25)
Обращаясь к эволюции Вселенной в будущем, мы видим из уравнения (15.1.21), что, пока давление не становится отрицательным, р должно убывать с ростом R по крайней мере как R'3 и, следовательно, при R -> оо правая часть уравнения (15.1.20)
убывает по меньшей мере как R'1. При k = —1 функция R2 (Z) остается положительно-определенной все время, поэтому R (Z) все время растет:
R (Z) -*¦ Z при Z —>- оо, если к = —1.
То же самое справедливо и при к = 0, но рост R (Z) медленнее,
• 2
чем Z. Если к = +1, R (Z) достигает нуля, когда рR2 = 3/(8яС).
Тогда, поскольку функция R — отрицательно-определенная, R (Z) начнет убывать и в итоге достигнет значения R = 0 за некоторый конечный промежуток времени в будущем. Следовательно, ход космической истории качественно определяется знаком пространственной кривизны: если к = —1 или к = 0, Вселенная будет расширяться вечно, если же к = +1, то расширение со временем прекратится и затем последует сжатие к сингулярному состоянию с R = 0.
Космологический принцип в сочетании с уравнениями Эйнштейна вносит ясность в некоторые из глубоких вопросов, поставленных в свое время Ньютоном и Махом (§ 3 гл. 1). § 1. У равнения Эйнштейна
507
Допустим, мы хотим изучать некоторую физическую систему S, такую, как Солнечная система или ньютоново вращающееся ведро, размеры которых много меньше космического масштабного фактора R. Можно представить себе S заключенной в сферическую полость, отделяющую S от остальной расширяющейся Вселенной, и, поскольку размеры этой полости много меньше R1 можно спокойно считать, что в ней нет ничего, кроме системы S. Если бы не было S, гравитационное поле в полости было бы сферически-симметричным с Riiv = 0 и, следовательно, по теореме Биркгофа (§ 7 гл. 11), метрика в полости была бы плоской, эквивалентной метрике Минковского Tijiv. Поскольку система S не слишком велика, мы можем рассматривать ее гравитационное поле как возмущение к т]ДЛМ игнорируя всю материю вне нашей полости, и изучать поведение S, пользуясь ньютоновской или релятивистской механикой. На вопрос, как выделяются инерциальные системы отсчета, теперь мы можем ответить: единственными системами отсчета, в которых Вселенная в целом выглядит сферически-симметричной и, следовательно, применима теорема Биркгофа, являются системы, имеющие началом центр нашей полости и не вращающиеся по отношению к расширяющемуся облаку «типичных» галактик. Инерциальной системой является любая система, движущаяся с постоянной скоростью и без вращения относительно систем отсчета, в которых Вселенная выглядит сферически-симметричной.
Эти замечания приводят к альтернативному выводу [2, 3] динамических уравнений расширяющейся Вселенной. Если мы мысленно построим где-либо во Вселенной сопутствующую сферическую поверхность, то при ее радиусе, много меньшем, чем R (J), галактики внутри сферы будут двигаться под влиянием лишь своих гравитационных полей, а гравитационным полем остальной Вселенной можно будет пренебречь. Тогда мы можем представлять себе Вселенную как состоящую из всюду однородно расширяющегося ньютоновского газа. Любая частица газа будет иметь траекторию
X(J) = X(J0)^,
где R (J) — масштабный фактор, общий для всего газа. Отметим, что наблюдатель, находящийся на любой из частиц газа, видит этот газ таким же, каким его видит наблюдатель, расположившийся в начале системы отсчета. Кроме того, «сопутствующими» координатами частицы газа являются гг = хг (J0), а вовсе не X1 (J). Гравитационная потенциальная энергия V такой частицы возникает от взаимодействия с материей внутри сферы радиусом I X (J) I и с центром в начале системы отсчета:
^ (0 = — jSl I X (?) I3 P («) -f^-j---^ mG IX (?) ¦508
Гл. 15. Космология; эталонная модель
здесь т — масса частицы и р (<) — однородная плотность газа, Кинетическая энергия частицы равна
•2
T(t) = ±m\k(t)\* = ±m\x(t0) 1 и, следовательно, ее полная энергия
При постоянном E это равенство совпадает с уравнением (15.1.20), если мы положим, что энергия частицы
Если к = —1, то E > 0 и тяготение не может воспрепятствовать рассеянию газа в бесконечность с конечной асимптотической скоростью. При к = 0 имеем E = 0, и газ все еще может неограниченно расширяться. Если к = +1, то E <С 0 и расширение рано или поздно прекратится и сменится сжатием.
Хотя ньютоновская космология может воспроизвести главные результаты, получаемые из уравнений Эйнштейна, она существенно неполна по нескольким причинам. Мы вынуждены прибегать к общей теории относительности, чтобы оправдать пренебрежение всей материей вне сферы радиусом | х (t) | при вычислении гравитационного потенциала в точке х (t). Мы не имеем права пользоваться ньютоновской механикой, когда среда сама состоит из частиц с релятивистскими локальными скоростями. Наконец, только в рамках общей теории относительности мы можем правильно интерпретировать наблюдения световых сигналов в терминах космического масштабного фактора R (t).
