Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, число источников с абсолютной светимостью между LhL + dL, расположенных на расстоянии от T1 до T1 + CZr1, равно
dN = 4лR3 (Z1) (1 - Ar*)-1/* rfn (Z1, L) Or1 dL. (14.7.1)
Координаты гх и Z1 связаны равенством (14.3.1), которое можно записать в виде
Гі = г (Z1), (14.7.2)
где г (Z) — функция определенная равенством
І0 r(t)
і Т&г= !тэт- (1"-3)
t О
31*•484
Гл. 14. Космография
Дифференцируя (14.7.3), получаем
отсюда и из (14.7.1) следует, что
dN = 4яR2 (Z1) г2 (Z1) п (Z1, L) | M1 | dL. (14.7.4)
Красное смещение и видимая светимость источника на расстоянии T1 с абсолютной светимостью L в момент Z1 определены формулами (14.3.6) и (14.4.12):
'=W-1- (14-7-5)
1 - 4лг,*Л* (*о)' V*-'.0)
Следовательно, число источников с красным смещением, меньшим z, и с видимой светимостью, большей I, равно интегралу от (14.7.4) по всем L и по конечному промежутку Z1:
OO to
N «z, >1)= j dL j df^nr2 (Zi) R2 (Z1) п (Z1, L), (14.7.7)
О MaKC{t,, tг(Ц}
где нижний предел определяется условиями на красное смещение и видимую светимость:
rHtl) - L- (14.7.9)
R2 (h) (t0)
Если красные смещения неизвестны, интересующей нас величиной будет N (>0 — число источников с видимой светимостью, большей чем 1\ оно получается, если положить нижний предел в (14.7.7) равным именно Zz (L). Наоборот, если неизвестны видимые светимости, то нужно рассматривать N (<z) — число источников с красным смещением, меньшим z; чтобы вычислить его, нужно взять Zz нижним пределом в (14.7.7). [Вместе с тем подсчет числа реально наблюдаемых источников не является измерением N (z), а дает для него лишь нижнюю границу; дело в том, что любые радио- или оптические телескопы детектируют лишь те источники, которые ярче некоторого минимума.]
Радиотелескопы не могут служить для измерения полной видимой светимости, но зато позволяют измерить плотность потока S — мощность, приходящуюся на единицу площади антенны и на единицу интервала частоты при фиксированной частоте. Плотность потока в момент Z1 для источника, расположенного§ 7. Подсчеты источников
485
в точке T1, равна
SM = ™*™™»"™, (14.7.10)
где P — мощность, излученная в единичный телесный угол и в единичном интервале частот. [См. формулу (14.4.35), учитывая, что S = I', .P = L'14л.]
Следуя по тому же пути, который привел к (14.7.7), мы найдем, что число источников с красным смещением, меньшим Z, и плотностью потока на частоте v, большей S, равно
OO to
W (< z, > S- v) = j dP j dtMrz (ti) X
О макс{<2, ts(P))
X Р, V-JJg-), (14.7.11)
где ts (P) определяется уравнением
IlfeU р . (14 7 12)
R(ts) SRHt0)- (it.i.U)
Анализ результатов подсчета радиоисточников сильно облегчается тем фактом [62, 76, 77], что обычные радиоисточники имеют спектры
P ~ V-«, (14.7.13)
причем спектральный индекс а порядка 0,7—0,8. Ввиду этого число источников, у которых мощность при частоте v лежит в интервале [Р, P + dP], дается выражением вида
где v0 — некоторая произвольная фиксированная частота. Следовательно, плотность числа источников удовлетворяет следующему правилу подобия:
Заменой переменной интегрирования P в (14.7.11) на P IR (t0)/R (Z1)]" мы можем отнести плотность числа объектов в подынтегральном выражении к фиксированной частоте v; тогда
OO
N К z, > S; у) = j dP j dh 4rtr2 (U) R2 (J1) п (J1, Р, v),
О макс (tz,tSa(P)}
(14.7.15)•486
Гл. 14. Космография
где tSa (P) определяется из уравнения
Для N (<z, >5; v) должно выполняться правило подобия:
N«]z, >S; v) = iv(<z, > S [~Ja> vo) • (14.7.17)
Мы можем считать, что все источники действительно обладают спектром (14.7.13) с одним и тем же спектральным индексом с той степенью вероятности, с какой выполняется правило (14.7.17).
Если за время, которое нужно, чтобы свет самых далеких наблюдаемых нами объектов дошел до нас, не происходит рождения, распада или эволюции источников, то и п (Z, L), и п (Z, P, v) имеют простую зависимость от времени (14.2.17):
n(t, L) = [^±fn(t0, L), (14.7.18)
п (/, Р, V) = [-??-]3 п P, V). (14.7.19)
В этом случае подсчет наблюдаемых источников мог бы служить для получения информации о к и R (t). Наоборот, при наличии космологической модели для км R (t) можно было бы использовать этот подсчет для вывода функциональной зависимости плотности числа источников от Z и от L или Р.
Понимание того, каких результатов следует ожидать от этих двух подходов к анализу наблюдаемых данных, может быть в значительной мере достигнуто при внимательном рассмотрении тех выделенных случаев, когда z мало либо когда Z или S велики. В этих случаях нижние пределы интегралов по Zi в (14.7.7) и (14.7.11) близки к Z0 и, следовательно, можно воспользоваться разложениями (14.6.1) и (14.6.6):
й (Z1) = i? (Z0) V-H0(U-U) +...},
г (Z1) = i?"1 (Z0) (Z0 - Z1) {1 + -І- H0 (Z0 - Zi) + ... } .
Разложим по Z0 — Z1 также и плотности числа источников:
/г (Z1, L) = п (Z0, L) {1 - ?0 (L) H0 (Z0-Z1) + ...}, (14.7.20)
= n(fo, Р, v){l-[?oCP, v) + 2a0(P, V)] H0 (Z0-Z1) + ...}, (14.7.21)