Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
0 д2х'а ox'? „
Но как r]a?, так и дх'Щдх^ являются несингулярными матрицами. Поэтому получаем
я2г'а
—— = 0. (2.1.8)
дх* дх& V ' 40
Гл. 2. Специальная теория относительности
Общее решение уравнения (2,1.8) есть как раз линейная функция
(2.1.1), и, подставляя (2.1.1) в (2.1.7), мы убеждаемся в том, что A"? должно удовлетворять условию (2.1.2). Это доказательство является элементарным примером того сорта соображений относительно симметричных пространств, которые мы изложим в главе 13. (Отметим попутно следствия из следующего предположения. Если преобразования х —>- х' оставляют dx инвариантным только при dx = 0, т. е. для частицы, движущейся со скоростью света, то мы обнаружим, что эти преобразования являются в общем нелинейными и образуют 15-параметрическую группу, называемую конформной. Эта группа содержит преобразования Лоренца в качестве подгруппы. Но утверждение о том, что свободная частица движется с постоянной скоростью, не являлось бы инвариантным утверждением, если скорость частицы не равнялась бы скорости света. Зная, однако, о том, что в природе существуют массивные частицы, мы должны отвергнуть конформную симметрию как возможный принцип инвариантности природы.)
Сейчас принято называть весь набор преобразований Лоренца, записанных в форме (2.1.1), неоднородной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Подгруппа, в которой все аа = 0, называется однородной группой Лоренца. Как однородная, так и неоднородная группы Лоренца имеют подгруппы, определяемые с помощью следующих дополнительных условий, налагаемых на Л":
A00^lt DetA=+1. (2.1.9)
Эти подгруппы называются соответственно собственной однородной и собственной неоднородной группами Лоренца.
Отметим, что из (2.1.2) следует
(A00)2 = 1+ S (Л\)2>1 (2.1.10)
г=1, 2, 3
(DetA)2 = 1. (2.1.11)
[Выражение (2.1.10) вытекает из (2.1.2), если положить в нем 7 = 6 = 0. Формулу (2.1.11) можно получить, если записать
(2.1.2) как матричное уравнение т] = ЛГт]Л и взять его детерминант.] Из (2.1.9) — (2.1.11) следует, что любая матрица A^, которая непрерывным изменением параметров может быть превращена в тождественную матрицу б®, реализует собственное преобразование Лоренца. Действительно, никаким непрерывным изменением параметров нельзя перейти от A00^—1 к A00 ±1, или, что то же самое, от Det А = —1 к Det A = -fl, а тождег ственное преобразование имеет A00 = -fl и Det A = -J-I. Несобственные преобразования Лоренца включают в себя инверсию пространства, обращение времени, либо их произведение. Как § 1. Преобразования Лоренца
41
известно, инверсия пространства (Det Л = —1, A00 1) не является точной симметрией природы [1—41; что же касается обращения времени (Det Л = —1, A00 < —1), то весьма сомнительно, чтобы природа была строго симметрична относительно этого преобразования [5]. Если не оговорено иное, то мы почти всегда будем иметь дело с собственными преобразованиями Лоренца, т. е. с теми, которые удовлетворяют условиям (2.1.9). Далее, собственные однородные преобразования Лоренца имеют подгруппу вращений, для которой выполняются условия
Здесь Ra — унимодулярная ортогональная матрица (Det R = 1 и RtR = 1), а индексы i, j пробегают значения 1, 2, 3. Что касается вращений и пространственно-временных трансляций ха —*¦ —ха + аа, то между группой Лоренца и группой Галилея, обсужденной в первой главе, нет никаких различий. Различие содержится только в бустах1), т. е. в тех преобразованиях, которые изменяют скорость системы координат. Пусть один наблюдатель О видит частицу в покое, а по отношению к другому наблюдателю О' она движется со скоростью v. Из (2.1.1) следует
Второе соотношение между Аг0 и A00 можно вывести, положив в выражении (2.1.2) индексы Y = 6 = 0:
A iI = Rtj, Ai0 = A0i = O, A00 = I.
или, поскольку dx = 0, имеем
(2.1.12)
dx'1 = A\dt {і= 1,2,3), dt' = A00 dt.
Отношение dx'/dt' определяет скорость v, так что
Ai0 = ^A00.
(2.1.13)
(2.1.14)
(2.1.15)
-I=Aa0Ap0TiaP= S -(A00)2.
i=l, 2, 3
(2.1.16)
(2.1.17)
(2.1.18)
Y з= (1 — v2)-1/2.
(2.1.19)
от СИ <<Бустом>> в физической литературе называют преобразование Лоренца истемы покоя к движущейся системе координат,— Прим. ред. 42
Гл. 2. Специальная теория относительности
Другие компоненты А™р не определяются однозначно, так как если преобразование Лгар переводит частицу из состояния покоя в состояние движения со скоростью V, то это же можно сделать и с помощью преобразования AayRy где R — произвольное вращение. Удобен следующий выбор A1j-, удовлетворяющий (2.1.2):
Ai,-= 6,,-1;^ ^ZlHl (2.1.20)
A0 j = yVj. (2.1.21)
Легко видеть, что любое собственное однородное преобразование Лоренца можно выразить как произведение буста A (v) на матрицу поворота R.
§ 2. Изменение масштаба времени
Хотя преобразования Лоренца были придуманы для того, чтобы объяснить инвариантность скорости света, замена гали-леевой относительности релятивистской приводит немедленно к кинематическим следствиям для материальных объектов, движущихся со скоростью, меньшей скорости света. Простейшим и наиболее важным из них является изменение масштаба времени у движущихся часов. Предположим, что относительно данного наблюдателя часы покоятся. Тогда два последовательных временных отсчета разделены пространственно-временным интервалом dx = 0, dt = At, где Ai — стандартная единица времени, задаваемая изготовителем часов. Собственный интервал времени в его системе равен
