Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
45. Hilbert D., Nachschr. Ges. Wiss. Gottingen, November 20, 1915, p. 395 (см. перевод: Эйнштейн А., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 326, 425, 435, 439, 448). ...Существуют четыре измерения, из которых TJiii мы называем пространственными, а четвертое — временным. Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь в одном-единственном направлении этого последнего измерения. — Это,— произнес Очень Молодой Человек, делая отчаянные усилия раскурить от лампы свою сигару,— это ... право, яснее ясного.
Г. Уэллс, Машина времени
Глава 2
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Б этой главе мы дадим обзор специальной теории относительности Эйнштейна. Хотя глава и представляет самостоятельный интерес, она содержит только краткое изложение результатов її основная цель ее — ввести обозначения и выписать некоторые формулы, полезные в дальнейшем. Читателю, которому необходимо более обширное введение в специальную теорию относительности, можно посоветовать прежде всего обратиться к монографиям, перечисленным в конце главы, а затем вернуться к чтению этой главы. Читателю, чувствующему себя свободно в этих вопросах, можно порекомендовать перейти непосредственно к главе 3.
§ 1. Преобразования Лоренца
Принцип специальной теории относительности гласит, что законы природы инвариантны относительно особой группы про-странственно-временных преобразований координат, называемых преобразованиями Лоренца. В конце первой главы мы показали, что законы движения Ньютона инвариантны относительно гали-леевых преобразований координат (1.3.2), а уравнения Максвелла не инвариантны относительно этих преобразований. Эйнштейн разрешил это противоречие, заменив галилееву инвариантность лоренц-инвариантностью. Я не стану продолжать обсуждения этой проблемы в историческом аспекте, а просто дам определение преобразований Лорепца, показав затем, как лоренц-инвариант-ность помогает исследовать законы природы.
Преобразования Лоренца есть переход от одной системы пространственно-временных координат в другую систему х'а. 38
Гл. 2. Специальная теория относительности
Переход выполняется согласно правилу
Xa = A Vp+ак» где аа и Л% — константы, ограниченные условиями
(2.1.1)
AavA1Vlap = %б>
Г +1, Ot = ? = 1, 2, 3,
(2.1.2)
(2.1.3)
В наших обозначениях а, ?, у, . . . пробегают значения 1, 2, 3, 0; X1, х-, X3 — декартовы компоненты положительного вектора x, а х° есть время t. Мы будем использовать естественную систему единиц, в которой скорость света равна единице, так что все компоненты ха имеют размерность длины. Если не оговорено иное, то по любому индексу, появляющемуся дважды (один раз как нижний, другой раз как верхний), подобно ? в уравнении (2.1.1), производится суммирование. Таким образом, (2.1.1) есть сокращенная запись следующего выражения:
Фундаментальным свойством, отличающим преобразование Лоренца, является то, что оно оставляет инвариантным «собственное время», определяемое так:
В новой системе координат х'а дифференциалы координат задаются в виде
а потому новое координатное время записывается следующим образом:
dx'1= — г)a?dx'^dx'^= — r|a?AavA?e dx? dx6 = — т] g dxt dofi, и, следовательно,
Именно это свойство преобразований Лоренца объясняет то, что Майкельсон и Морли обнаружили неизменность скорости света во всех инерциальных системах. Фронт световой волны имеет скорость I dx/dl I, равную скорости света, которая в выбранной естественной системе равна единице; следовательно, распространение света описывается формулой
Xа' = AV0 + AaiXi + Aa1X2 + AV3 + аа.
dx2 = dt2 — dx2 — — rja? dxa dx$.
(2.1.4)
dx'a = Aav dxf,
di'2 = dx2.
(2.1.5)
dx = 0.
(2.1.6) § 1. Преобразования Лоренца
39
При преобразовании Лоренца величина dx не меняется, т. е. ^t'2 = 0, и, следовательно, | dx'/dt' | = 1, т. е. скорость света и в новой системе равна единице.
Можно также показать, что преобразования Лоренца (2.1.1) являются единственными несингулярными преобразованиями X х', которые оставляют инвариантным dx2 (несингулярность преобразования означает, что х' (х) и х (х') являются хорошими дифференцируемыми функциями и что матрица дх,а-!дх§ имеет хорошо определенную обратную матрицу дх$1дх'а). Произвольные преобразования координат Xх', приводящие к замене dxdx', задаются в виде
дх'а дх'^
dx'2 = —v)afrdx'adx'$= —г|ар----j-dx^dxP.
дху дх
Если для всех dxy это выражение равно dx2, должно выполняться условие
Дифференцируя (2.1.7) по х&, имеем
д2х'а дх'Ь дх'а 9?'13 _ п
Для того чтобы вычислить вторые производные, прибавим к этому выражению такое же уравнение с переставленными индексами 7 и є и вычтем уравнение с переставленными индексами є и б. В результате получим
^ , _ _ „„ д2х'& дх'а , д2х'а dx'V , д2х'Ь дх'а
1IctP
дхУдхе дх6 дх6дхе дх** дхг дх~* дх6 дх6 дх"* дхЕ
д2х'а дх'Р д*х'$ дх'а
дх"! дх6 дхг дхе дх6
Поскольку г]ар = т]Ра, последний и предпоследний члены сокращаются со вторым и четвертым соответственно, а первый и третий оказываются равными. Тогда остается
