Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
b'=b$gnN, получим
Окончательно находим
? *,<*+ с o') = (*; ". о) + ^
где число v определяется формулой
2 ? г = &и' +
Естественно, этот результат применим также к случаю \N\ =1, W' = W, R =
{0}.
28 Часть I. Эйзенштейн
§ 6. В § 2 мы отложили доказательство сходимости ряда (2); теперь мы
проведем его. Положим t, = xju, z=e(?)> Рассмотрим сначала случай п = 1 и
воспользуемся для ei формулой (14) гл. II, § 7. Поскольку v/u=±% и q =
&(x), общий член ряда (2) можно записать в виде
= 2ni(- Ц; \_Л.
\ 1 - q г 1 - qvz )
Для больших v это выражение по абсолютной величине не превосходит C|<?|v,
где С зависит от z, но не от v. Поэтому ряд (2) абсолютно сходится. При п
^ 2 мы можем переписать (2) в виде
Еп(х) = и~п ? е"(^4^) = и~я Yje + vt^
*е \ и / t-ie
v v
Покажем, что здесь суммировать по Эйзенштейну уже не обязательно, потому
что ряд абсолютно сходится. В самом деле,
_ (-1)"-1 dn~x " /_ d у-1/ 1 \
Ч (О - (п- 1)! dln~1 1 (r) (" - 1)! V dz ) U - г J*
Подстановка ? + vt вместо ? в этот ряд равносильна подстановке qvz вместо
z при v>0 и (glvl2-1)-1 вместо z при v < 0. Пусть сначала v > 0. Если v
достаточно велико, то | <7V21 < 1, и мы можем рассмотреть разложение по
степеням qvz. Получим
ОО
(-2Ш)п V* jn-l"vd"d
=wLd ч
(п - 1)!
d=1
2
Снова для больших v эта величина не превосходит C|<7|v по модулю, где С
зависит от г, но не от v. Аналогичная формула имеет место для v < 0.
Действительно, заменив v на -v, получим при настолько больших v, что
|дЧг-1|<1:
d=1
Это завершает доказательство сходимости.
III. Основные эллиптические функции, § 7 29
§ 7. Объединяя полученные выше формулы, получаем для всех и>1 следующие
выражения для Еп(х):
N
Еп(х) = и~п ^ 8л (? + VT) +
v= - N
4-00 + 0О
Е E^-v-b'+i-D"^]. (в"
v=JV+l d=l
Легко убедиться, что двойной ряд здесь абсолютно сходится, если N
настолько велико, что \qN+lz\ < 1 и |qN+lz~l\ < 1. В частности, при |^| <
| z \ < |^|-1 можно взять N = 0.
Отсюда вытекают важные формулы для коэффициентов разложения Ех в
степенной ряд в окрестности х=0. Поскольку Е1 - нечетная функция, имеем
ЕМ = т [ВД -*<-*>]=т+т ? (тт*г - =7+Л •
Предположим, что |х|<|ш| для всех w^W, кроме ш = 0. Тогда
Здесь частичная сумма
w т=2 т=2 \ w /
абсолютно сходится. Вычитая ее из Ех(х), находим, что ряд имеет смысл и
оо
Ех (*) = J - Yj етхт~1' (9)
т=1
Здесь коэффициенты ет равны нулю для нечетных т, а для четных т задаются
формулами
е2 = ЕвШ-2; e2m = Y! (r)~2т (т> 2). Дифференцируя, получаем для Еп
степенной ряд
30 Часть I. Эйзенштейн
Коэффициент е2т для всех т^1 совпадает со значением Е2т(х)-х~2т ПРИ х =
0. Положим в (8) п = 2т. Если х мал, то z близок к 1, поэтому в (8) можно
взять N = 0. При 5 = 0 значение е2т(5)-?_2т равно у2т (см. формулу (16)
гл. II, § 7). Следовательно, подставляя дс = 0, 5 = 0, 2=1 в (8), получим
*.=1^0=^+^ *-.<">/). "о
\ N=1 /
где о2т-\(М) есть обычное обозначение для суммы (2т-1)-х степеней
делителей N:
02m-l(N)=Zd2m-1.
d\N
Эйзенштейн пишет (2т,*) и 21* вместо наших е2т и 2У соответственно. Мы
будем при необходимости обозначать е2т через е2т(и, v). Если 2, то
функция е2т(и, v) зависит лишь от решетки W и потому может быть
обозначена e2mW).
§ 8. Продифференцируем формулу (7) из § 5 я - 1 раз по х. При п = 2
получим
? Е2(х + г; и', v') = E2(x; и, v) - ^?г-> (12)
r<=R
а при п^З
X Еп(х + г; и', v') = En(x; и, v) (13)
re=R
(тривиальное тождество, ибо в этом случае ряд абсолютно сходится). При п
= 2т вычтем из обеих частей х~п и положим дс = 0. Получим
е2 ("', "0 + Y, (П v') = е2 (".и) " ^?' (14)
re=R'
e2m(u',v')+ Z E2m(r; и', v') = e2n(u,v) (m>2). (15)
Здесь мы положили R' = R - {0} (напомним, что 0 принадлежит множеству
представителей R фактора W/W' в силу на-
III. Основные эллиптические функции, § 8 31
ших соглашений). Для W = W формула (14) приобретает вид
e2(u',v') = e2(u,v)--^^-. (16)
Заметим в заключение, что
Е2 (х) - е2 = х~2+'Е'е [(* + w)~2 - тГ2]
и что ряд справа абсолютно сходится, так что можно
заменить на]Г'. Это ^-функция Вейерштрасса, впервые введенная им в
лекциях 1862 года. Функция ? Вейерштрасса - не что иное, как Ех(х) - е2х.
глава IV
Основные соотношения и бесконечные произведения
§ 1. Основные соотношения между функциями Еп(х) Эйзенштейн получает тем
же методом, который он применил к тригонометрическим функциям (ср. гл.
II). Однако тождество (3) гл. II, § 2 нельзя непосредственно применить к
функциям Ет, введенным формулой (3) в гл. III, §2; возникнут трудности со
сходимостью. Ничто не мешает исходить из тождества (2) гл. II, §2 с т = п
= 3; с этого и начал Эйзенштейн. Как сам он указывал позже, можно также
действовать последовательно: сначала вывести подходящее тождество для
тригонометрических функций, как в гл. II, а затем уже применить его к
эллиптическим функциям. Этот способ несколько проще, и мы воспользуемся
им.
Как в гл. III, § 6, перепишем определение Еп в виде
EAx)=U-nY<eZn{l+ VT), (1)
полагая ? = х/и, % = bv/u, как раньше. Для удобства ссылок перепишем
