Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
главная ветвь логарифма в некоторой окрестности единицы. Вне нее можно
брать любую ветвь (например, для определенности, вида l°g \Ри\ с
-1 ^ < 1) и считать logO = оо. Таким об-
разом,
log/> = Elogp(i,
если произведение сходится; значение логарифма слева может лежать на
любой ветви. Произведение называется абсолютно сходящимся, если ряд X log
р^ абсолютно сходится (после исключения конечного числа членов с р^ = 0).
Символ отвечает ?е: согласно нашим определениям,
¦fAf +Af +00
Последнее выражение может иметь смысл, только если РцР-п^ 1 ПРИ Р^Н-00 (в
то же время рц не обязаны стремиться к I).
Таким образом, мы можем придать смысл произведению
и
где штрих, как обычно, означает пропуск члена с ц = 0. По определению,
iogm=?>g(i+f).
и
В силу замечаний в конце гл. I, этот ряд можно дифференцировать почленно.
Здесь, однако, Эйзенштейн ощущает необходимость в обосновании и
действует, как мы могли бы действовать сегодня, дифференцируя почленно и
затем инте-
II. Тригонометрические функции, § 7 21
грируя полученную формулу. Он не замечает, что этого недостаточно, не
владея понятием равномерной сходимости. Как бы то ни было, он приходит к
тождеству
^log />(*) = ?'-j-= в,
Из (11) следует, что xP(x)/sin тех есть константа; формула (10)
показывает, что она равна 1/я при х = 0. Это дает классическое
произведение Эйлера для синуса в виде
sin тех = тех ^1 + -^-). (12)
Из него без труда вытекает следующая формула, пригодная для нецелых
значений х/и:
х - t
sin те
-5- = П,('-ТТ1Пг)- (13)
sin те и
м-
Она понадобится нам позже.
§ 7. До сих пор нам было безразлично, работать ли с вещественными или с
комплексными числами. Все рассуждения проходили в обоих случаях, кроме
доказательства формулы
(12): оно показывает лишь, что отношение левой и правой частей как
функция вещественной переменной х равно единице на [-1, 1] и постоянно в
каждом интервале [ц, ц +1]. Поэтому для завершения доказательства
остается лишь заметить, что правая часть периодична с периодом 2 (это
очевидно) .
В комплексном случае желательно вывести из предыдущих рассмотрений связь
между тригонометрическими функциями и экспонентой. Эйзенштейн достигает
этого, переписав формулу сложения (7) в равносильном виде
- /" I "л _ ^{х)гх{у)-те2 8i(Х+У)- eiW + 8l(y) •
Введя функцию
е(х)
еДлг) + ш
Е\(х) - Ш '
немедленно получаем для нее формулу сложения в виде е(* + у) = е (х) е
(у)
и начало разложения в нуле в виде 1 -\-2nix. Поэтому е(л;) = _ e2nixf
откуда следуют обычные формулы, сначала для
22 Часть I. Эйзенштейн
котангенса, а затем для синуса и косинуса. Для будущих нужд отметим
формулу
в1(*)=ш 1]. (и)
Введя, как обычно, числа Бернулли Вт с помощью ряда 1 ср + 1 1 YV
1 \т d f2m_I
2 ev -\ v } т (2т)! '
т = 1
получаем ряд для в виде
1 чг*** п 4-2,ГП, 1
8iW=T_Z(2j1) Вт (2т)! ' (15)
т=1
Пользуясь формулами из § 1, находим отсюда
Вт
(2 /71)!
Y*. = 2 ? ц-2" = (2n)2m-|5i- (16)
И=1
глава III
Основные
эллиптические
функции
§ 1. Начиная с этого места, мы работаем с комплексными переменными.
Обозначим через W некоторую решетку в комплексной плоскости. Пусть и, v -
ее образующие, так что W состоит из точек вида w = \iu-\-vvi где р,, v -
целые числа. Отношение vju не вещественно, и его можно представить в виде
цД/ = 6т, где 6=± 1, а т лежит в верхней полуплоскости. Иногда удобно
писать 6(utv) вместо б. Положим q=e(т), где функция е определена в гл.
II, § 7. Символом V? = Ql/2 всегда обозначается та ветвь, для которой
q1/2 = е (т/2); очевидно, | q | < 1. Поскольку uv - Uv = = Ьий (т - т),
мы можем записать это число в виде
uv - Uv = - 2ш6Л, А > 0.
§ 2. Рассмотрим теперь ряд
Е"(х)= Z (х + до)-".
w(=W
При /г ^ 3 он абсолютно с одится, и никаких дополнительных объяснений не
требуется. Кроме того, в силу замечаний в конце гл. I, имеем dEn/dx = -
п?п+ь
При п = 1 и п = 2 Эйзенштейн определяет эти ряды с помощью процесса,
который мы снова назовем суммированием по Эйзенштейну. Он зависит от
выбора образующих и, v решетки W и определяется формулой
24 Часть I. Эйзенштейн
где мы положили w = рц + vt>. Очевидно, сумму по р можно вычислить с
помощью формул гл. II: для всех л ^ 1 имеем
2> + шГ = "-е"(^) О)
И
и, следовательно,
2^(1+")""=.-" ."(¦?¦) +
1
В § 6 мы приведем более явную формулу, из которой будет ясно, что ряд (2)
абсолютно сходится и (в силу замечаний в конце гл. I) его можно
дифференцировать почленно. Пока приняв это на веру, определим Еп для всех
п ^ 1 формулой
Еп(х) = Ее (х + w)~" = (х + |Ш + vv)~n. (3)
Эйзенштейн обозначает эту функцию (как и еп(я) в теории
тригонометрических функций) символом {п,х). Поскольку она зависит не
только от х и решетки W, но и выбора образующих и, v этой решетки, мы при
необходимости будем обозначать ее также En(x\u,v). Если п ^ 3, можно
писать Еп{х\ W). Из определений ясно, что функция Еп(х) четна или нечетна
по х в зависимости от четности или нечетности п. В частности, Еi(-х) =-
Е\{х).
Поскольку (3) можно дифференцировать почленно, имеем dEn/dx = -пЕп+1 для
