Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейль А. -> "Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру" -> 4

Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.

Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру — М.: Мир, 1978. — 112 c.
Скачать (прямая ссылка): ellipticheskiefunkciipoeynshteynu1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 33 >> Следующая

е2 (*)2 = е4 (х) + 2у2г2 (х). (6)
Поэтому 6^3=6^ - 37282. Дифференцируя, получаем е2е3 - - 2у2е3 = е184.
Сравнение с (6) показывает, что e3 = eie2. Подставив 8i82 вместо е3 в
формулу для 6i83 и разделив на е2, находим г\=г2 - Зу2. Так как е2= -
dejdx, отсюда следует, что 6j есть решение дифференциального уравнения
dX/dx = = - X2-Зу2, бесконечное при х = 0. Как хорошо известно, отсюда
следует, что 61 (л;) = л ctg пх.
§ 4. Интереснее, однако, сделать вид, что мы ничего не знаем о
тригонометрических функциях, и определить котангенс с помощью этого
дифференциального уравнения. Точнее, положим а = (Зу2)_1/2, а > 0. Из
вышесказанного следует, что и -> ct?\ (аи) есть решение дифференциального
уравнения dv/du = -и2-1 с периодом а~1. Очевидно, любые два его решения
могут отличаться лишь сдвигом по и, так что имеется единственное решение
с полюсом при и = 0. Если определить котангенс как это решение и
определить п как его период, мы можем написать ei(x) = я ctg пх и у2 =
я2/3.
18 Часть I. Эйзенштейн
После этого элементарную теорию тригонометрических функций можно
развивать несколькими способами. Следует либо пользоваться уже
выведенными формулами, либо получать дальнейшие тождества с
тригонометрическими функциями из тождеств с рациональными функциями,
пользуясь методом, описанным в § 2. Рассмотрим, например, формулу
сложения для котангенса:
2е, (х + у) [е, (х) + ei (г/)] = [е, (х) + е, (г/)]2 - е2 (*) - е2 (у).
(7)
Эйзенштейн доказывает ее так. Заметим прежде всего, что для любого целого
числа v
•.M+'.M-zbb+T+bir)' ("
ц.
где ряд абсолютно сходится. Положим
Z = x + y, р = х + ц, q = y - n, p'=x + n - v, q' = y+v - \i
и применим (1) к р, q' и р\ q. Получим
' ^ p'q рЛ-я' \ р я') р'-\- я \ р' я )
РЯ
Эту формулу можно рассматривать как разложение на простые дроби левой
части как функции от х при постоянных г, р, v. Обозначим правую часть
буквой А. Аналогично, применив (1) к р, -р' и затем к q, -q\
получим при v ф О
_L j L =-(-_______________- + - L'j
рр 1 яя' v V р' Р Я Я/
Обозначим правую часть через Bv и положим В0 = р~2 + ^~2.
Тогда
Просуммируем это тождество но р при постоянном v, затем просуммируем
результат по v по Эйзенштейну. В первом суммировании ряды абсолютно
сходятся. Сверх того, в левой части даже двойной ряд по (р, v) абсолютно
сходится. Поэтому слева можно суммировать по р и р - v независимо, что в
силу (8) приведет к результату
[е,(х) + ei(i/)]2.
Суммирование выражений А даст левую часть (7), суммирование В0 даст
последние два члена (7), а суммирование 5V при v ф 0 даст нуль. Это
доказывает (7).
Другой вариант состоит в рассмотрении формулы
б! (2 - х) [е2 (*) - 82 {г)] - е, (х) е2 (г) - е, (г) е2 (х) = 0, (9)
II. Тригонометрические функции, § 5 19
которая тривиально эквивалентна (7) в силу тождества е2=6^ +я2 из § 3.
Положим y = z - x и обозначим через f {x,y) левую часть (9). Тогда (4)
показывает, что df/dy = О, так что вместо f(x,y) можно писать просто
f(x). Но левая часть (9) симметрична по х, z, так что f(x) = f(z) при
всех х, z; значит, / есть константа. При замене х, z на -х, -г левая
часть (9) меняет знак, так что f нечетна. Поэтому / = О, что снова
доказывает (7).
§ 5. Отметим еще, что § 3 статьи Эйзенштейна содержит краткие указания на
гораздо более общие тригонометрические тождества, которые можно вывести
его методом из соответствующих тождеств для рациональных функций и
которые в свою очередь можно использовать для отыскания соотношений между
эллиптическими функциями. Попутно отмечена формула
sin и 2^2 2 2 •
которую можно переписать в виде
*Ь-т-(т)-т-№)-???• о")
Этот ряд можно положить в основу определения синуса. Из (7) вытекает
формула
2ej (2х) 6i (х) = 2ej (х)2 - е2 (х) = б! (х)2 - я2.
Подставив в нее последовательно у и 1 * , находим, что
6i(t) и в1( ^ ~2 Х ) являются корнями уравнения Y2 - 2si(x) У - я2 = О,
и из (10) получаем
я/sin ях = е2 (х)1/2, е2 (х) = (я/sin яд:)2.
Дифференцируя эти формулы и пользуясь тождествами § 3, находим
8| ('"') = Чх 1о^ sin пх" чп
Если бы Эйзенштейн жил дольше и продолжил свои исследования, формула (10)
и подобные ей могли бы привести его к рассмотрению более общих рядов вида
? %(v)(x +v)-n, где х - некоторый характер аддитивной группы целых чисел
20 Часть I. Эйзенштейн
(не обязательно конечного порядка), и соответствующих рядов в теории
эллиптических функций. Как мы увидим дальше, этим, по существу, занялся
Кронекер (см. гл. VII и VIII).
§ 6. Введем теперь бесконечные произведения. Начнем с предварительных
замечаний. В произведении P = JJ.p]l некоторые сомножители могут
обращаться в нуль. С другой стороны, мы будем переносить на произведения
все определения и факты о рядах, логарифмируя почленно; поэтому во всех
необходимых случаях следует отбрасывать конечное число нулевых множителей
(конечность обусловлена тем, что произведение может сходиться, только
если рп стремится к 1 при ц -> ± оо). Под log рп всегда подразумевается
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed